4. Трансформационные свойства поля

Теперь, когда мы располагаем явным выражением для операторов можно вывести уравнения движения и выяснить поведение переменных поля при лоренцевых преобразованиях. Рассмотрим вначале ферми-поле и заметим, что

вследствие чего

Тогда получаем

где

Это уравнение движения также выражается в виде

где

При вычислении коммутатора для произвольного оператора поля удобно представить в виде

откуда

В результате применения этой процедуры к получим

где

является операторной калибровочной функцией. Мы, кроме того, определили

Аналогичные вычисления можно проделать для плотности с помощью перестановочного соотношения в равные моменты времени

Находим

или

и закон лоренц-преобразования

Также получим

Возвращаясь к поперечному векторному полю сперва заметим, что

где все также действует на функцию слева от него. Отсюда сразу следует, что

или эквивалентно

и

Ввиду того что обе стороны последнего уравнения не должны содержать членов с дивергенцией, мы получаем, в частности,

что дает, как в этом можно непосредственно убедиться, еще одно выражение для операторной калибровочной функции

С помощью этого выражения можно выразить лоренц-трансформационные свойства в символической форме

откуда становится понятным происхождение калибровочного операторного преобразования в калибровочном требовании поперечности излучения. С этим тесно связан закон преобразования для так как

и в результате вычисления получаем

До настоящего момента лоренц-трансформационные свойства выступают в сравнительно простом виде. В добавление к геометрическим преобразованиям различные поля подвержены операторному калибровочному преобразованию. Это положение, конечно, было бы вполне справедливым по отношению к абелевым калибровочным полям, но для временных компонент неабелева калибровочного поля это не верно. Если рассмотреть поле то из уже использованных коммутационных свойств видно, что

где последние два члена появляются в результате вычисления

Обозначение функции предвосхищает ее структуру. Напомним, что оператор действует на функцию, стоящую слева от него. В результате интегрирования по х мы получаем уравнение движения

в то время как дополнительный множитель приводит к формуле лоренц-преобразования

Здесь введены определения

и

Новые трансформационные свойства операторов связаны, таким образом, с появлением функции

Эту функцию можно вычислить, заметив, что

так что достаточно идентифицировать коэффициенты при после упрощения первого члена. В достаточно простом виде

результат можно представить в форме утверждения, что

В этом и в предыдущих преобразованиях были использованы следующие соотношения:

Нужно отметить еще одно свойство функции Как следует из самого определения,

Заметим, что вычисление этих двойных коммутаторов, разумеется, дало бы функцию поля но мы не будем выписывать явного результата, так как для нас важна коммутационная структура, а она такова, что сокращенное уравнение

сохраняется и во времени и при лоренц-преобразовании. Таким образом, последовательное, член за членом, вычисление

дает в конце концов нуль только в силу предполагаемого свойства

что, между прочим, равно также

Полная плотность внутреннего свойства, представленного матрицами дается соотношением

а соответствующая интегральная величина описывается постоянным эрмитовым оператором

Если вклад в этот интеграл эффективно ограничен специально выбранной областью, то скалярная функция определяющая продольную компоненту

должна в асимптотике вести себя как

Однако производная по времени от не содержит столь медленно исчезающего члена, и мы можем определить ток подчиняющийся закону сохранения

в виде

Мы видим, что здесь также содержится функция

Хотя в противоположность ток подчиняется локальному закону сохранения, плотность не обладает в отличие от локальным характером по отношению к перестановочным соотношениям в равные моменты времени. Имеем

Добавочный член типа дивергенции не вносит вклада в интегральные величины, и мы вновь подтверждаем коммутационные

свойства Т-операторов

получая

Лоренц-трансформационные свойства более сложны, чем те же свойства №. Например,

Переписав это в виде

можно убедиться в лоренц-инвариантности сохраняющихся Т-операторов

Рассмотрим в заключение лоренц-трансформационные свойства поля Можно начать с явного выражения

которое, кстати говоря, дополняет

но проще вернуться к дифференциальному уравнению

Исходя из известных свойств можно теперь найти

где

и дивергенция от этого уравнения дает аддитивную добавочную функцию поля которая выходит за пределы элементарных геометрических и масштабных преобразований. Асимптотическое поведение определяется, согласно дифференциальному уравнению

в виде

Замечание, добавленное в корректуре.

Коммутационным уравнениям для плотности энергии можно дать общую динамическую основу путем изучения той модификации в законе сохранения, которую может произвести наличие внешнего гравитационного поля. Также подразумевается выполнение некоторых минимальных допущений о локальности времени. При аналогичном выводе коммутатора для плотности заряда в равные моменты времени из уравнения сохранения тока нужно рассматривать такие системы, для которых ток не является явной функцией производной по времени от внешнего векторного потенциала.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)