4. Псевдоскалярные мезоны

Мы предположили, что барионные поля преобразуются подобно октету 8 относительно группы так что матрицы для барионных полей определяются соотношением (3.4). Потребуем теперь, чтобы все мезоны преобразовывались под действием так, что сильные связи оказались бы -инвариантными. Если 8 ягмезонов имеют связи типа Юкавы, то они должны быть связаны комбинациями типа через некоторые матрицы . Мы должны исследовать теперь, как подобные билинейные формы преобразуются под действием Говоря математическим языком, в мы рассмотрели прямое произведение -представлений 3 и 3 и нашли, что оно сводится к прямой сумме 8 и Мы отождествили 8 с барионами и на время оставили в стороне 1. Теперь необходимо исследовать Легко показать, что на самом деле 8 эквивалентно 8, т. е. здесь ситуация не та, что в случае 5 и 3. (Заметим, что в представлении 8 значения расположены симметрично относительно нуля.) Таким образом, антибарионы по существу преобразуются так же, как барионы, и следует проделать редукцию прямого произведения Обычная теория групп приводит к результату

где (это может иметь место только, если размерность есть куб целого числа). Представление 27 распадается при включении разностей масс на изотопический синглет, триплет и квинтет с дублет и квартет с дублет и квартет с триплет с и триплет с Представление 10 распадается при тех же условиях на триплет с дублет с квартет с и синглет с Сопряженное представление 10 будет, конечно, выглядеть таким же образом с равными,

но противоположными значениями Ни одно из этих представлений не напоминает в какой-либо заметной мере известных мезонов.

Представление 8, встречающееся дважды, имеет один и тот же вид и для мезонов и для барионов. Очень привлекательно сопоставить его известным мезонам плюс один новый псевдоскалярный мезон соответствующий в случае барионов. Назовем этот мезон и допустим, что он существует, обладая довольно малой массой Таким образом, мы отождествили известные псевдоскалярные мезоны с октетом теории унитарной симметрии так же, как это имело место для барионов. Представления 1, 10, 10, 27 также могут соответствовать мезонам и даже псевдоскалярным, но (предположительно) они обладают гораздо большими массами; некоторые (или даже все) массы, возможно, так велики, что будут физически нелепыми.

Для описания восьми псевдоскалярных мезонов, принадлежащих представлению 8, мы положим, так же как и в (3.5), что

Мы знаем теперь, что матрицы связывающие совпадают с теми, которые связывают именно Для того чтобы связать инвариантным образом 8 мезонов с 8 барионами (например, через необходима связь вида

для которой имеет место соотношение

Далее, двойное появление 8 в уравнении (4.1) обеспечивает существование двух независимых систем восьми -матриц подчиняющихся соотношению (4.4). Одна из этих систем, очевидно, состоит из самих Нетрудно найти другую систему, если вернуться к коммутаторам и антикоммутаторам, -матриц в представлении 3 [уравнение (2.3)]. Подобно тому как мы образовывали определим

Легко показать, что все также удовлетворяют соотношению (4.4). Отметим, что, в то время как -матрицы являются мнимыми и антисимметричными относительно выбранного базиса, -матрицы вещественны и симметричны.

В чем же теперь заключается физическое различие между установлением связи для псевдоскалярных мезонов при помощи и при помощи Оно заключается в симметрии относительно операции

Операция не является членом унитарной группы, но представляет собой некоторое отражение. На языке можно говорить, что операция изменяет знак второй, пятой и седьмой частиц; заметим, что мнимые, тогда как другие Я вещественны. Из приложения 2 можно видеть, что при подобных переменах знака нечетно, четно.

Возможно, что в пределе унитарной симметрии связь для псевдоскалярных мезонов будет инвариантной относительно подобно унитарной группе. В этом случае мы выбираем в (4.6) либо знак «плюс» и связь типа либо знак «минус» и связь Обе возможности иллюстрированы в приложении 3.

Если выделить только одну систему (случай -инвариантности), то она, по-видимому, окажется -связью, поскольку последняя приводит к сильному взаимодействию (в то время как -связь не дает в этом случае ничего), а наличие взаимодействия наилучшим образом объясняет связи А-частиц в гиперъядрах. В общем случае можно записать связь типа Юкавы (рассматривая ее как основную или феноменологическую в зависимости от того, элементарны -мезоны или нет) в форме

Отметим, что не существует никаких возможностей сделать обе связи гораздо меньше связи Так как данные по фоторождению -мезонов по-видимому, показывают, что эффективные константы связи в случаях и меньше, чем в случае (фактически это в свое время послужило основой схемы глобальной симметрии), мы должны заключить, что наша симметрия довольно сильно нарушена. Мы вернемся к этому вопросу в

Простой способ получать численные множители из приложений 3 и 4 для векторных мезонов обеспечивает использование приложения 5, которое дает трансформационные свойства мезонов

и барионов в терминах воображаемых «лептонов» и «L-частиц» п. 3. Здесь можно сделать интересное замечание относительно разностей масс барионов. Если допустить, что они преобразуются как разность масс т. е. как восьмая компонента унитарного спина, то останутся только две возможные матрицы, связанные с разностью масс Это приводит к следующему правилу сумм для масс барионов:

которое весьма хорошо выполняется для наблюдаемых масс — гораздо лучше, чем соответствующее соотношение теории глобальной симметрии. Однако нет особых оснований надеяться, что аналогичные правила сумм будут выполняться для мезонов.