4. Обобщенные преобразования Лоренца

Рассмотрим теперь обобщенные преобразования (3.5), в которых параметры — произвольные функции координат. Более удобно провести эквивалентный анализ, используя в качестве независимых функций и

так как это позволяет избежать явного появления , кроме того, дает возможность рассмотреть обобщенные преобразования но не равными нулю так что преобразования

координат и поля можно полностью разделить. При этом удобно использовать латинские индексы для для матриц оставляя греческие для и Таким образом, рассматриваемые преобразования имеют вид:

или

Наши обозначения подчеркивают сходство между -преобразованиями и линейными преобразованиями, рассмотренными в Только такие преобразования и были рассмотрены Утиямой [3]. Очевидно, что четыре функции определяют общее координатное преобразование. Геометрический смысл параметров будет выяснен в

Согласно нашему условию, дифференциальный оператор должен иметь греческий индекс. Однако если в выражение для лагранжиана войдут два сорта индексов, это создаст некоторые неудобства, поэтому мы будем рассматривать как заданную функцию (без запятой), удовлетворяющую тождествам (3.7) и (3.8). Тогда исходный лагранжиан получается при замене

Он, конечно, не инвариантен относительно обобщенных преобразований {4.1), но позже мы получим инвариантное выражение, заменяя подходящей величиной

Преобразование величины определяется следующей формулой:

и, следовательно, исходный лагранжиан преобразуется согласно закону

Заметим, что сюда входит именно а не так как мы не включили добавочный член в (3.4). Левая часть

выражения (3.4) в действительности имеет вид

Найдем теперь видоизмененный лагранжиан, с которым интеграл действия будет инвариантным. Только что упомянутый выше добавочный член отличается от всех, с которыми мы сталкивались раньше, тем, что он содержит и не содержит В частности, он включает вклады в от членов, не содержащих производных. Очевидно, его нельзя устранить с помощью замены обычной производной на какую-либо ковариантную. По этой причине мы будем решать задачу в два приема. Сначала мы избавимся от неинвариантности, возникающей вследствие того, что - не ковариантная величина, и получим некоторое выражение удовлетворяющее условию

Потом ввиду того, что условие (3.4) инвариантности интеграла действия требует, чтобы лагранжиан был плотностью инварианта, а не инвариантом, мы заменим величиной которая удовлетворяет условию

Первую часть этой программы можно выполнить, заменив в лагранжиане на «ковариантную производную» которая преобразуется по закону

Тогда из тождеств (3.8) будет следовать условие (4.4). Для того чтобы сделать это, необходимо ввести 40 новых полевых переменных. Рассмотрим сначала -преобразования и исключим член в (4-3), положив

где суть 24 новых полевых переменных. Затем можно наложить условие

которое единственным образом определяет трансформационные свойства Эти свойства следующие:

Положение с последним членом в (4.3) несколько иное. Член, содержащий неоднороден в том смысле, что он зависит от X, а не от как и второй член в (2.4); о последнем же члене этого сказать нельзя. Соответственно закон преобразования (4.8) для также однороден. Это означает, что для получения некоторого выражения преобразующегося согласно (4.6), следует добавить к Х член, содержащий не X, а саму производную Другими словами, мы можем просто умножить Х на некоторое новое поле:

Здесь суть 16 новых полевых переменных, которые, согласно (4.6), имеют следующие трансформационные свойства:

Необходимо заметить, что поля А и на этом этапе являются совершенно независимыми и не связанными друг с другом, хотя, конечно, уравнения движения позволят установить эту связь.

Мы нашли инвариантный лагранжиан Теперь можно легко получить инвариантную плотность , умножая лагранжиан на подходящую функцию уже введенных полей:

В этом случае соотношение (4.5) удовлетворяется при условии, что величина § сама является плотностью инварианта:

Легко видеть, что единственная функция новых полей, подчиняющаяся этому закону преобразования и не содержащая производных, это функция

где произвольный постоянный множитель выбран так, чтобы обращалась в единицу при равной

Окончательно наш модифицированный лагранжиан имеет следующий вид:

(Штрих можно опустить, не опасаясь путаницы.) Может возникнуть вопрос, является ли этот лагранжиан единственным в том же самом смысле, как модифицированный лагранжиан в Легко видеть, что лагранжиан действительно определен неоднозначно. Причина этого лежит в том, что если два исходных лагранжиана отличаются только на дивергенцию некоторой функции и поэтому эквивалентны, то видоизмененные лагранжианы не обязательно эквивалентны. Рассмотрим для примера лагранжиан некоторого вещественного скалярного поля

записанный в форме, использующей производные первого порядка. Он эквивалентен лагранжиану

но соответствующие модифицированные лагранжианы различаются на величину

которая не является явной дивергенцией. Следовательно, для того чтобы определить модифицированный лагранжиан полностью, необходимо уточнить, какую из возможных эквивалентных форм исходного лагранжиана следует брать. Вопрос о выборе правильной формы лагранжиана обсуждается в приложении.

Как и в можно определить модифицированные токи через

где величина, обратная и удовлетворяющая соотношениям

Для того чтобы выразить в простой форме «законы сохранения», которым удовлетворяют эти токи, удобно расширить определение ковариантной производной (а не Первоначально ковариантная производная определяется для и поэтому тривиальным образом распространяется на любую другую величину, которая инвариантна относительно -преобразований и изменяется линейно при -преобразованиях. Мы хотим распространить это понятие на любую величину, изменяющуюся линейно при -преобразованиях, попросту игнорируя ее трансформационные свойства при -преобразованиях. Так, например, мы имели бы

в соответствии с трансформационным законом величины при -преобразовании- Будем называть эту величину -ковариантной производной. В дальнейшем будет определена другая ковариантная производная, которая учитывает также свойства при -преобразованиях.

Легко вычислить коммутатор двух операторов -ковариантного дифференцирования. Он равен

где

Эта величина ковариантна относительно -преобразований и удовлетворяет циклическому тождеству

Таким образом, она обнаруживает большое сходство с Заметим, что величина антисимметрична по обеим парам индексов.

С помощью -ковариантной производной законы сохранения можно выразить следующим образом: