3. Оператор плотности энергии

Фундаментальными динамическими переменными нашей системы являются эрмитово ферми-поле со спином 1/2 и поперечная часть векторного эрмитова бозе-поля . Первое из них подчиняется антикоммутационному соотношению в равные моменты времени

которое играет роль матричного уравнения по четырем спинорным индексам. Это поле также имеет добавочную внутреннюю сложность, которая позволяет реализовать свойства, представленные мнимыми антисимметричными матрицами Та, имеющими следующие групповые коммутационные свойства:

Матрица (n-мерная)

также подчиняется этому групповому закону коммутации.

Поперечные векторные поля коммутируют с в заданный момент времени и подчиняются перестановочным соотношениям

Это — матричные уравнения в -мерном внутреннем пространстве, к которому относятся матрицы 4- Употребляются также поля, определяемые соотношениями

и

где

Явное выражение для дается символически в виде

причем

В качестве возможных выражений для плотности энергии и импульса рассматриваемой системы предлагаются следующие эрмитовы операторы:

и

Отметим, что бозе- и ферми-члены требуют соответственно симметризации и антисимметризации. Скалярную функцию мы здесь конкретизировать не будем. Ее определение представляет собой существенный результат настоящей работы. Матрицы Дирака Р и действительны и соответственно симметричны и антисимметричны. Спиновые матрицы

мнимы и антисимметричны.

Чтобы удостовериться в наличии правильных 3-мерных трансформационных свойств, заметим, что

где проведено упорядочение симметризованных произведений. Таким образом,

и, следовательно,

что выражает оператор импульса через канонические переменные. Отсюда сразу получаем

где X может быть или Аналогично

откуда получаем

и аналогичное уравнение для Эти соотношения обеспечивают надлежащие трансформационные свойства а тем самым и справедливость перестановочных соотношений для инфинитиземальных операторов группы 3-мерных трансляций и вращений.

Здесь полезно отметить, что плотность импульса должна подчиняться перестановочным соотношениям в равные моменты времени вида

где

и

Последние соотношения представляют собой условия, выполнение которых необходимо в силу уравнений инфинитиземальных преобразований:

которые определяют также и коммутационные свойства Эрмитовы операторы должны исчезать при конечных

но в общем случае они не равны тождественно нулю для полевых систем с ненулевым спином. Заметим только, что для систем, которые здесь обсуждаются, состоит из членов, содержащих производные от не выше второго порядка.

Как легко убедиться, вклад ферми-поля в плотность энергии подчиняется условию для коммутатора

Для того чтобы вычислить, например, вычислим сначала этот коммутатор отличен от нуля благодаря свойствам коммутатора

и операторов плотности содержащихся в В результате объединения получим просто

где

Из этого следует

Здесь слева и справа мы имеем функции, симметричные по Таким образом,

Возвращаясь к вычислению видим, что

и, поскольку

мы получаем

В результате

Проверка условия для коммутатора была бы завершена, если бы было известно, что

Вспомним коммутатор

одно из важнейших следствий его состоит в том, что в отличие от аналогичного образования из член

не исчезает. Действительно,

где дифференцируется только первая переменная в функции Мы просто выпишем результаты вычисления предлагая читателю повторить выкладки:

где

и

Этот результат означает, что существует функция такая, что набор операторов коммутативен для всех х.

Чтобы подчеркнуть тесную зависимость, которая должна иметь место между двумя членами выпишем сумму, образующую положительно определенный эрмитов оператор

где, как следует вспомнить, элементы матрицы являются мнимыми числами. Возможность подобного представления

эквивалентна установлению тождества

Для его проверки необходима следующая теорема: