2. Изотопическое калибровочное преобразование

Пусть — двухкомпонентная волновая функция, описывающая некоторое поле с изотопическим спином 1/2. При изотопическом калибровочном преобразовании она преобразуется по закону

где — унитарная -матрица с определителем, равным 1. В соответствии с изложенным в предыдущем пункте потребуем по аналогии со случаем электромагнитного поля, чтобы все производные функции появлялись в следующей комбинации:

Здесь представляют собой -матрицы, из которых три эрмитовы антиэрмитова. Требование инвариантности гласит:

Объединяя (1) и (2), получаем изотопическое калибровочное преобразование для

Последний член подобен градиентному члену в калибровочном преобразовании электромагнитных потенциалов. По аналогии с процедурой получения калибровочно инвариантных напряженностей поля в электромагнитном случае вводим определение

Используя (3), легко показать, что при изотопическом калибровочном преобразовании величины преобразуются по закону

Другие простые функции величин В, отличные от (4), не обладают такими простыми трансформационными свойствами.

Изложенный выше ход рассуждений можно применить к любому полю с произвольным изотопическим спином. Для этого нужно лишь использовать другие -представления вращений в 3-мерном пространстве. Разумно предположить, что различные поля с одинаковыми полными изотопическими спинами, т. е. принадлежащие к одному представлению взаимодействуют с одним и тем же матричным полем аналогично тому обстоятельству, что электромагнитное поле одинаковым образом взаимодействует со всеми заряженными частицами независимо от их природы. Если бы различные поля взаимодействовали с различными и независимыми полями В, то существовали бы другие законы сохранения, помимо сохранения полного изотопического спина.) Чтобы найти более явную форму для полей В и установить связь между соответствующими различным представлениям поступим следующим образом.

Уравнение (3) справедливо для любого и соответствующих ему Далее, матрица входящая в уравнение (3), представляет собой линейную комбинацию матриц

«углового момента» изотопического спина, которые соответствуют изотопическому спину рассматриваемого поля Следовательно, сами также содержат линейную комбинацию матриц . Но любая часть добавленная к этой, например представляет собой скалярную или тензорную комбинацию величин Т и должна преобразовываться при помощи однородной части уравнения Такое поле является посторонним; его допускает принятая нами общая форма для поля В, но оно не имеет отношения к изотопической калибровке. Итак, существенная для нас часть поля В имеет вид

(Жирные символы обозначают трехкомпонентные векторы в изотопическом пространстве.) Чтобы связать соответствующие различным представлениям, рассмотрим теперь произведение представлений Поле В для этой комбинации преобразуется, согласно (3), по формуле

Но сумма и В полей В, соответствующих преобразуется в точности таким же образом; следовательно,

(плюс возможные члены, которые преобразуются с помощью однородной части (3) и поэтому несущественны, в силу чего и не будут учитываться). Разлагая на неприводимые представления, можно видеть, что -компонентное поле в уравнении (6) — одно и то же для всех представлений.

Таким образом, чтобы получить взаимодействие между полем произвольного изотопического спина и полем следует просто заменить градиент на

где , согласно данному выше определению, —матрицы «углового момента» изотопического спина для поля

Заметим, что девять компонент вещественны, а три компоненты чисто мнимы. Ковариантные относительно изотопической калибровки полевые величины можно выразить через

где

Величины преобразуются как компоненты вектора при изотопическом калибровочном преобразовании. Очевидно, одни и те же взаимодействуют со всеми полями безотносительно к представлению к которому относится

Соответствующее преобразование величин довольно громоздко. Однако необходимо изучить лишь инфинитиземальные изотопические калибровочные преобразования

Для них