3. Уравнения поля

Чтобы записать уравнения для поля очевидно, желательно использовать только величины, инвариантные относительно изотопических калибровочных преобразований. По аналогии со случаем электромагнитного поля запишем следующую плотность лагранжиана:

Так как включение поля с изотопическим спином служит хорошей иллюстрацией и не слишком усложняет дело, используем следующую полную плотность лагранжиана:

Отсюда получаются следующие уравнения движения:

где

Дивергенция не обращается в нуль. Вместо этого, как легко показать из (13), имеем

Если, однако, определить величину

то (12) приводит к уравнению непрерывности

Здесь представляют собой соответственно плотность тока изотопического спина и плотность изотопического спина системы. Уравнение непрерывности обеспечивает независимость полного изотопического спина

от времени и его лоренц-инвариантность относительно преобразования Лоренца. Важно заметить, что как и не преобразуется в точности как вектор при вращениях изотопического спина. Полный же изотопический спин

является интегралом от дивергенции величины которая преобразуется как истинный вектор при вращениях изотопического спина. Поэтому при общем изотопическом колибровочном преобразовании, если на бесконечно большой сфере, Т будет преобразовываться как вектор изотопического спина.

Определение (15) показывает, что изотопический спин обусловлен как полем спина так и самим полем Поэтому коль скоро изотопический спин является источником поля уравнения для поля оказываются нелинейными даже в отсутствие поля спина Такая ситуация отличается от случая электромагнитного поля, которое само не имеет заряда и, следовательно, удовлетворяет линейным уравнениям в отсутствие заряженного поля.

Гамильтониан, получаемый из как легко показать, положительно определен в отсутствие поля с изотопическим спином 1/2. Доказательство проводится совершенно аналогично тому, как это делается в электродинамике.

Уравнения движения (12) и (13) следует дополнить добавочным условием

которое служит для устранения скалярной части в поле Это, очевидно, налагает некоторое условие на возможные изотопические калибровочные преобразования. А именно,

инфинитиземальное изотопическое калибровочное преобразование должно удовлетворять следующему условию:

Это — аналог уравнения которому должно удовлетворять калибровочное преобразование электромагнитного поля.