5. Группа Лоренца и гравитационное поле

Рассмотрим систему полей определенную в некоторой лоренцовой системе отсчета. Предположим также, что интеграл действия

инвариантен относительно преобразования Лоренца. Далее, введем наряду с рассматриваемой системой некоторую произвольную криволинейную систему координат . В дальнейшем

величины, отнесенные к х-системе (локальная лоренцова система координат) и криволинейной -системе, мы будем помечать соответственно латинскими и греческими индексами.

Квадрат инвариантной длины бесконечно малого интервала имеет вид

где

и

Введем две группы функций согласно формулам

и

Тогда будут выполняться следующие соотношения:

Поднятие и опускание индексов обоих типов можно осуществлять при помощи и или Геометрический смысл величин очевиден. Введение мирового 4-вектора соответственно задает в каждой мировой точке и некоторую локальную лоренцову систему отсчета. Разумеется, при всяком преобразовании Лоренца локальные системы во всех мировых точках преобразуются одинаково, а именно:

Учитывая этот геометрический смысл величин можно, используя или преобразовывать всякий мировой тензор в соответствующий локальный тензор, определенный относительно

локальной системы отсчета, и наоборот. Например,

где использовано сокращенное обозначение

При таком подходе интеграл действия можно записать в следующем виде:

где определяется формулой

означает производную

Величина в (4.2) не преобразована в соответствующую мировую величину по той причине, что если будет спинором, то такое преобразование станет вообще невозможным, поскольку спинор допускает корректное определение только относительно лоренцовой системы отсчета.

Теперь интеграл действия оказывается инвариантным по отношению к двум типам преобразований [2, 3], а именно:

1) к преобразованию Лоренца

представляет собой -элемент -матрицы являющейся представлением оператора группы преобразований Лоренца. Матрица удовлетворяет соотношению

2) к общему точечному преобразованию

Теперь наш лагранжиан (4.2) имеет вид, который позволяет применить к нему общий метод, развитый в если задаваемые функции рассматривать как совокупность полевых переменных, удовлетворяющих условию

и преобразующихся при преобразованиях группы Лоренца по формуле (4 3). Инвариантность при преобразованиях (4.3) и (4.4) будет иметь место даже в том случае, когда не требуется выполнение условия (4.5). Единственнное назначение этого условия заключается в том, чтобы обеспечить возможность находить наиболее простую и наиболее удобную систему координат . В самом деле, если заменить параметры произвольными функциями то после преобразования Лоренца, зависящего от этих функций, соотношение (4.5) уже не будет выполняться.

Условие (4.5) исключает возможность при/ожения общего метода к нашей задаче. В соответствии с этим мы будем рассматривать величины как некую совокупность 16 независимых заданных функций.

Следуя схеме , введем «обобщенное преобразование Лоренца», зависящее от произвольных функций вместо первоначальных параметров Будем предполагать, что при этом преобразовании и преобразуются по формулам

В таком случае для сохранения инвариантности относительно преобразования (4.6) необходимо ввести некоторое новое поле

обладающее в согласии с (1.11) следующими трансформационными свойствами:

Новый лагранжиан будет иметь вид

где (см. [4])

[см. (1.10)]. Множители в (4.9) и в (4.7) возникают по той причине, что при суммировании по немым индексам в этих выражениях одни и те же вклады учитываются два или соответственно четыре раза.

В результате «общего преобразования Лоренца», при котором локальные системы отсчета в различных мировых точках преобразуются по-разному, соотношение (4.5) теряет силу. Так как это соотношение выполняется только в том случае, когда пространство — время плоское, то мы вынуждены рассматривать его как некоторое риманово пространство с метрикой

и аффинной связностью

В связи с этим следует ожидать, что существует некоторое соотношение, связывающее

Чтобы получить это соотношение, рассмотрим в качестве примера локальный тензор

Согласно (4.9),

Используя величины это выражение можно записать в виде

где

В общем случае из (4.9) легко получить соотношение

Это выражение представляет собой не что иное, как обычную ковариантную производную, с той лишь разницей, что для латинских индексов вместо обычной связности Г используется а для греческих индексов вместо Г фигурирует наше Г. Таким образом, для мирового тензора наша «ковариантная производная» соответствует обычной ковариантной производной со связностью Г, а именно:

где означает обычную ковариантную производную. Формулу, связывающую А и можно получить, заметив, что

Отсюда следует, что

Если предположить, что

то можно разрешить (4.13) относительно Г. Получим

или

где

Формула (4.14) и есть искомое соотношение.

Из (4.14) следует, что ведет себя при общем точечном преобразовании (4.4) как мировой тензор третьего ранга, так как неоднородный член

появляющийся из вариации компенсируется членом Поэтому будет ковариантным мировым вектором по отношению к -преобразованиям (4.4). При этом, как легко видеть, наша «ковариантная производная» действительно оказывается ковариантной относительно обоих типов преобразований, а именно: относительно любого «общего преобразования Лоренца» и любого -преобразования (4.4).

Итак, получено общее выражение для ковариантной производной без использования понятия параллельного переноса. В частности, если — спинорное поле то

где — обычные матрицы Дирака.

Теперь рассмотрим лагранжиан свободного поля А:

в котором необходимы для поднятия и опускания тензорных индексов обоих типов. Из постулата инвариантности 20 относительно «общего преобразования Лоренца» следует, что должен иметь форму

где определяется формулой

Можно формально записать это соотношение следующим образом:

где будет не локальным тензором второго ранга, а ковариантным мировым тензором (по индексам и Используя выражение (4.15), можно доказать следующее соотношение (см. приложение II):

где — тензор кривизны Римана — Кристоффеля,

Наш лагранжиан содержит вместе с также величины А и однако можно показать, что появляются в только в комбинации

До сих пор мы рассматривали как некоторые заданные функции. Поведение в общей теории относительности определяется уравнениями поля, которые выводятся из вариационного принципа.

Полная плотность лагранжиана теперь имеет вид

Уравнения поля для и записываются как

и

где

Тождества, соответствующие (1.23) и (1.24), выглядят следующим образом:

и

где

Коэффициент при в (4.19) тождественно обращается в нуль:

и, таким образом, принимает вид

Подставляя это выражение в (4.19), мы приходим к тривиальному результату

поскольку

Благодаря появлению в (1.24) эйлеровой производной можно было в рамках общей теории п. 2 получить неисчезающий

«ток». Однако в рассматриваемом случае эйлерова производная в не входит. Поэтому здесь при получении «тока» уравнения поля не играют никакой роли.

Обычные уравнения гравитационного поля выводятся из лагранжиана

где определяется как

Производя варьирование по получаем

Как нетрудно проверить, выполняется следующее соотношение:

где (см. [7])

Таким образом,

где

так что окончательно

В этой формуле представляет собой плотность симметричного тензора энергии — импульса исходного поля Симметричность легко доказать следующим образом.

Так как лагранжиан поля инвариантен относительно «общего преобразования Лоренца», то имеет место тождество, подобное (4.18):

Используя в этом тождестве уравнения поля имеем

Из этого соотношения легко видеть, что