15. ЛОРЕНЦ-ИНВАРИАНТНОСТЬ И ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ

Т. КИББЛ

В настоящей работе изложен формализм, позволяющий прийти к введению гравитационного поля, исходя из требования лоренц-инвариантностн лагранжиана. В качестве обобщения рассуждений Утиямы вводится -параметрическая группа лоренц-преобразований, включающих вариации Как координат, так и переменных поля. В этом случае нет необходимости априорно вводить криволинейные координаты и риманову метрику, причем новые полевые переменные, вводимые в ходе рассуждений, содержат компоненты 4-репера и коэффициенты «локальной аффинной связности» Обобщенные преобразования, для которых 10 параметров становятся произвольными функциями положения, могут быть интерпретированы как общие координатные преобразования и вращения тетрадной системы. Показано, что свободный лагранжиан для новых полей является функцией двух ковариаитных величии, аналогичных для электромагнитного поля, а его простейшей возможной формой является как раз обычная плотность скалярной кривизны, выраженная через Этот лагранжиан выражается через производные первого порядка и является аналогом лагранжиана Палатинп в 4-реперном формализме. В отсутствие материи он дает известные уравнения 0 для пустого пространства, но в присутствии материи появляется отличие от обычной теории (впервые отмеченное Вейлем), возникающее в результате того, что в лагранжиане поля материи появляются так что уравнение движения, связывающее с изменяется. В частности, это означает, что хотя ковариантные производные метрического тензора исчезают, коэффициенты аффинной связности оказываются все-таки несимметричными. Эта теория может быть выражена и через коэффициенты связности Кристоффеля; в этом случае в лагранжиане присутствуют добавочные члены, квадратичные по «спиновой плотности» Эти члены почти наверняка слишком малы, чтобы разница между предсказаниями предлагаемой и обычной теорий могла быть замечена экспериментально.

1. Введение

Уже давно выяснено, что существование некоторых полей, в частности электромагнитного, может быть связано с инвариантными свойствами лагранжиана (см., например, книгу Вейля [1]). Так, если лагранжиан инвариантен относительно фазового преоб разования если мы хотим сделать его инвариантным относительно общего калибровочного преобразования, при котором X является функцией х, то необходимо ввести новое поле преобразующегося так, что , и заменить в лагранжиане на «ковариантную производную» Аналогичные

соображения в случае вращений изотопического спина привели Янга и Миллса [2] к триплету векторных полей. Таким образом, идея связать существование гравитационного поля с лоренцевой инвариантностью лагранжиана становится весьма привлекательной. Утияма [3] предложил метод, приводящий к введению 24 новых полевых переменных Эти переменные вытекают из рассмотрения однородных лсренц-преобразований, определяемых шестью параметрами Однако для этого необходимо было априорно ввести криволинейные координаты и группу 16-ти параметров Сначала считались заданными функциями х, а затем рассматривались как полевые переменные и интерпретировались как компоненты 4-реперной системы в римановом пространстве. Такой путь нельзя считать удовлетворительным, так как цель такого рода исследования состоит как раз в том, чтобы обосновать введение переменных гравитационного поля, зависящих от метрики, и аффинной связности. Новые полевые переменные были последовательно связаны с символами Кристоффеля в римановом пространстве, но это могло быть сделано единственно на основе произвольного предположения, что величины вычисленные из симметричны.

Цель настоящей статьи — показать, что 4-реперные компоненты так же как коэффициенты «локальной аффинной связности» можно ввести как новые переменные поля, аналогичные если рассмотреть полную -параметрическую группу неоднородных преобразований Лоренца вместо ограниченной -па-раметрической группы. Это означает, что необходимо рассматривать преобразования координат и полевых переменных, которые будут требовать некоторых изменений в рассуждениях, но это также означает, что требуется только одна система координат и что риманову метрику не обязательно вводить априорно. Интерпретацию теории для риманова пространства можно при желании провести позже. Исходной точкой нашего изложения будет обычная формулировка лоренц-инвариантности (включая трансляционную инвариантность) для прямоугольных координат в плоском пространстве. В той мере, в какой это возможно, мы будем следовать аналогии с калибровочным преобразованием и для сравнения дадим в краткое обсуждение линейных преобразований переменных поля. Это будет по существу краткое резюме рассуждений Утиямы, хотя ударение будет перенесено на другое, в частности, в вопросе о ковариантных и нековариантных законах сохранения.

В п. 3 обсуждается инвариантность относительно преобразований Лоренца, а в п. 4 мы обобщим рассуждения, вводя соответствующую группу, в которой десять параметров становятся

произвольными функциями положения. Мы покажем, что для сохранения инвариантности лагранжиана необходимо ввести 40 новых переменных, так чтобы можно было построить соответствующую ковариантную производную. Для того чтобы интеграл действия стал инвариантным, фактически требуется, чтобы лагранжиан был скорее плотностью инварианта, а не инвариантом, поэтому инвариант надо умножить на подходящую и единственным образом определенную функцию новых полей. В п. 5 рассматриваются возможные формы свободного лагранжиана для новых полей. Как и в случае электромагнитного поля, мы выбираем лагранжиан наинизшей степени, который удовлетворяет требованиям инвариантности.

Геометрическая интерпретация в терминах риманова пространства описана в п. 6. Мы покажем, что полученный свободный лагранжиан в точности совпадает с обычной плотностью скалярной кривизны, но выраженной через коэффициенты аффинной связности не обязательно симметричные. Фактически в том случае, когда материя отсутствует, эти коэффициенты симметричны, что следует из уравнений движения, но в присутствии материи они содержат антисимметричную часть, которая выражается через «спиновую плотность» Таким образом, имеет место различие между описываемой теорией и обычной метрической теорией гравитации Это различие было впервые отмечено Вейлем [4], а сравнительно недавно обсуждено Сциамой [5]. Оно обусловлено тем, что наш свободный лагранжиан — первого порядка по производным и содержит величины и в качестве независимых переменных. Можно реинтерпретировать теорию в терминах коэффициентов связности Кристоффеля или их локального аналога что и осуществляется в п. 7. В этом случае в лагранжиане появляются добавочные члены, квадратичные по и пропорциональные гравитационной постоянной.