14. ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Р. УТИЯМА R. Utiyama, Phys. Rev., 101, 1597 (1956)

В настоящей работе рассматриваются некоторые системы полей, которые инвариантны относительно определенной группы преобразований, зависящей от параметров. Постулируя инвариантность этих систем полей относительно более широкой группы преобразований, которая получается заменой параметров исходной группы набором произвольных функций, мы получаем общее правило, при помощи которого вполне конкретным путем вводится некоторое новое поле, для которого имеет место определенный тип взаимодействия с исходными полями. Трансформационные свойства этого нового поля относительно расширенной группы определяются из требования инвариантности. Получены также возможные типы уравнений этих новых полей, вытекающие из какого-либо определенного закона сохранения, обусловленного инвариантностью. В качестве примеров с этой точки зрения рассмотрены электромагнитное и гравитационное поля, а также поле Янга—Миллса.

1. Введение

Формы взаимодействия между некоторыми известными полями возможно определить, постулируя инвариантность относительно некоторой группы преобразований. Рассмотрим, например, электромагнитное взаимодействие заряженного поля Электромагнитное взаимодействие входит в лагранжиан посредством учета членов

Легко проверить, что при таком выборе (1) комбинаций и система оказывается калибровочно инвариантной, если она инвариантна относительно фазового преобразования

Идя обратным путем, можно однозначно прийти к комбинации (1), рассуждая следующим образом. Прежде всего предположим, что лагранжиан инвариантен относительно фазового преобразования (2) с постоянной фазой. Заменим это фазовое преобразование более общим преобразованием, введя вместо постоянной фазы а фазу Чтобы лагранжиан продолжал оставаться инвариантным относительно этого обобщенного преобразования, необходимо ввести электромагнитное поле

при помощи комбинации (1). Вид этой комбинации и трансформационные свойства при калибровочном преобразовании однозначно определяются из постулата калибровочной инвариантности лагранжиана .

Этот подход использовали Янг и Миллс [1], которые ввели таким способом некое новое поле В, взаимодействующее с полями, изотопические спины которых не равны нулю. Таким же способом можно ввести и гравитационное поле.

Представляет интерес исследовать этот подход в более общем случае, так как если имеется некоторая система полей инвариантная относительно какой-либо группы преобразований, зависящей от параметров то с точки зрения изложенного выше появляется возможность ввести вполне определенным путем некоторое новое поле, скажем этом будут однозначно определены трансформационные свойства этого нового поля и форма его взаимодействия с полями

Будем называть взаимодействия, полученные таким способом, «взаимодействиями первого класса», а все прочие взаимодействия будем относить к «взаимодействиям второго класса». Взаимодействия электромагнитного, гравитационного и В-полей — первого класса, а мезон-нуклонные взаимодействия относятся, по крайней мере на данной стадии исследования, ко второму классу.

Главной целью настоящей работы является изучение следующего вопроса. Рассмотрим некоторую систему полей инвариантную относительно некоторой группы преобразований зависящей от параметров Предположим, что эта группа заменяется более широкой группой которая получается при замене параметров исходной группы на набор произвольных функций и потребуем, чтобы рассматриваемая система была инвариантна относительно преобразований этой расширенной группы Сможем ли мы в таком случае, используя только упомянутый выше постулат инвариантности, дать ответ на следующие вопросы:

1. Какого типа будет поле вводимое на основе требования инвариантности?

2. Как преобразуется это новое поле А при преобразованиях группы

3. Какова будет форма взаимодействия между полем А и исходным полем

4. Можно ли определить новый лагранжиан по исходному

5. Какие типы уравнений поля А окажутся допустимыми?

Решению этих проблем посвящен п. 2. В п. 3 - 5, следуя схеме п. 2, мы рассматриваем заново хорошо известные примеры

взаимодействий первого класса. При этом обнаруживается определенная аналогия между трансформационными свойствами электромагнитного поля поля Янга—Миллса и символами Кристоффеля общей теории относительности. Более того, выясняется причина появления в выражении для напряженности поля Янга—Миллса квадратичного члена который имеет большое сходство с соответствующим членом, фигурирующим в тензоре Римана — Кристоффелля а именно с членом в .

В стандартных учебниках по общей теории относительности ковариантная производная тензора вводится при помощи понятия лараллельного переноса. С другой стороны, как будет выяснено в ковариантная производная любого тензора или спинора может быть получена из требования инвариантности относительно «обобщенных преобразований Лоренца», получающихся в результате замены шести параметров обычной группы Лоренца шестью произвольными функциями от х. Для получения таких ковариантных производных нет необходимости использовать в явной форме понятие параллельного переноса.

Отметим далее, что установленная выше классификация взаимодействий в известном смысле условна. То или иное взаимодействие второго класса могло бы перейти в первый класс, если бы нам удалось найти соответствующую группу преобразований, при помощи которой это взаимодействие включалось бы в общую схему Так, например, если бы взаимодействие между мезонами и нуклонами удалось истолковать в терминах взаимодействий первого класса, то, по-видимому, открылись бы более широкие перспективы для интерпретации взаимодействий между новыми нестабильными частицами и нуклонами.