2. Линейные преобразования

Рассмотрим совокупность переменных поля которые мы будем трактовать как элементы матрицы-столбца с лагранжианом

где — и возьмем линейные преобразования вида

где суть бесконечно малых постоянных параметров, а Т суть заданных матриц, удовлетворяющих тем же перестановочным

соотношениям, что и операторы группы Ли

Лагранжиан будет инвариантным относительно этих преобразований, если выполняются тождеств

что мы и будем предполагать. Заметим, что производную следует рассматривать как матрицу-строку. Из уравнений движения получаем законов сохранения

где «токи» определяются следующим образом:

Далее, относительно более общих преобразований вида (2.1), для которых параметры становятся произвольными функциями координат, лагранжиан перестает быть инвариантным, потому что производные преобразуются согласно формуле

и члены с не уничтожаются. Действительно, мы получаем

Однако можно построить некий измененный лагранжиан, который будет инвариантным, если заменить в величиной преобразующейся следующим образом:

Для этой цели необходимо ввести новых полевых переменных которые преобразуются с помощью Действительно, если положить

то условие (2.5) определяет единственным образом трансформационные свойства нового поля. Эти свойства следующие:

Таким способом мы получаем инвариантный лагранжиан

Выражение можно назвать ковариантной производной от х относительно преобразований (2.1). Ковариантные токи можно определить как

где считается функцией X и Эти токи преобразуются линейно согласно формуле

а их ковариантные дивергенции обращаются в нуль, как можно показать, исходя из уравнений движения и тождеств (2.2):

Два ковариантных дифференцирования, вообще говоря, не коммутируют. Из (2.6) следует, что

где

В отличие от выражение ковариантно и преобразуется по закону

Поэтому его ковариантную производную можно определить очевидным образом. Она удовлетворяет циклическому тождеству

Остается найти свободный лагранжиан для новых полей. Ясно, что лагранжиан должен быть инвариантен сам по себе. А это, как нетрудно видеть [3], означает, что он должен содержать только через ковариантные комбинации Наиболее простой такой лагранжиан имеет вид

где тензорные индексы поднимаются с помощью метрического тензора плоского пространства с диагональными элементами (1, —1, —1, —1), а индекс а опускается с помощью метрики

связанной с группой Ли (за исключением, конечно, случая однопараметрической группы). Ясно, что этот лагранжиан не единственный. От него требуется только, чтобы он был скаляром как в координатном, так и в пространстве группы Ли; к нему можно было бы добавить члены более высокой степени по

Однако представляется разумным выбрать лагранжиан наинизшей степени, которая удовлетворяет условиям инвариантности.

При таком выборе свободного лагранжиана как (2.10), уравнения движения для новых полей имеют вид

Благодаря антисимметрии величин можно определить другой ток, который сохраняется в строгом смысле

где

Этот добавочный ток можно рассматривать как ток самого нового поля так как он допускает представление в следующем виде

Заметим, однако, что это не ковариантная величина. Для того чтобы получить точный закон сохранения, надо пожертвовать ковариантностью тока.