2. Принцип наименьшего действия

Чтобы построить инвариантную функцию Лагранжа в обычной форме для производных первого порядка, необходимо скомбинировать антисимметричный тензор эрмитовых операторов с одинаковым образом преобразующейся дифференциальной формой эрмитовых операторов К сожалению, в случае электромагнетизма антисимметричный градиент, или ротор, не подходит, так как инфинитиземальное калибровочное преобразование такого выражения будет иметь вид

и последний член не дает вклада при преобразовании Мы таким образом приходим к рассмотрению компенсирующего калибровочного преобразования для выражения

где использовано векторное обозначение в -мерном пространстве. Компонентами этого вектора, будут

Кроме того, точка обозначает симметризованное произведение операторов

так что все выражение представляет собой эрмитов оператор. Ввиду абсолютной антисимметрии этот же вектор можно, кроме того, записать в виде

Здесь использовано обозначение для матрицы

с элементами

Записывая калибровочное преобразование ротора в этих обозначениях, имеем

сравним это выражение со следующим:

Свойства перестановочных соотношений -матриц записываются в виде

что приводит к требуемому результату:

Возможная функция Лагранжа имеет вид

где подразумевается скалярное произведение векторов во внутреннем пространстве. Дополнительная функция Лагранжа

соответствует системам, имеющим свойства, представленные матрицами Т. Последние, кстати говоря, оказываются, между прочим, мнимыми и антисимметричными, если все поля выбраны эрмитовыми. Поток этих свойств описывается эрмитовым вектором тока

вид которого следует из требования калибровочной инвариантности. Если — калибровочный скаляр, а кинематические матрицы действуют исключительно в пространстве — времени, или

то лагранжиан при инфинитиземальном калибровочном преобразовании ведет себя следующим образом:

Принимая во внимание однородность калибровочного преобразования тока

которое следует из свойств перестановочных соотношений Г-матриц

можно видеть, что выражение дает компенсирующий член.

Безразмерная величина служит произвольной константой связи. Мы покажем, что она должна быть положительной.

До тех пор, пока не установлены свойства перестановочных соотношений операторов поля, функция Лагранжа X, или оператор действия

достроенные из формальных соображений инвариантности, имеют лишь эвристическое значение, давая с помощью принципа наименьшего действия

соблазнительный способ построения ковариантных уравнений поля и операторов инфинитиземальных преобразований. Рассмотрим сначала инфинитиземальные калибровочные преобразования одного -поля

которое требует существования общего закона сохранения

и оператора инфинитиземального преобразования

Смысл последнего выражается в следующем:

что дает перестановочное соотношение

Соответствующая интегральная форма имеет вид

где

Эти эрмитовы операторы подчиняются групповым перестановочным соотношениям

Они, однако, не являются константами движения, так как не подчиняются истинному уравнению сохранения.

Полученные из принципа наименьшего действия дифференциальные уравнения калибровочного поля имеют вид

и

Эти уравнения можно выразить также в матричной форме:

где следует четко представлять, что коммутаторы относятся только к координатным и матричным индексам; операторы же в противоположность этому перемножаются симметричным образом. При такой записи операторов инфинитиземальное калибровочное преобразование обеспечивается ортогональным преобразованием с матрицей Вследствие антисимметричности вектор

имеет нулевую дивиргенцию

и, таким образом, константами движения служат эрмитовы операторы

Естественно ожидать, что эти операторы также подчиняются групповым перестановочным соотношениям, однако проверку этого предположения следует отложить до того момента, когда будут конкретизированы свойства операторов калибровочного поля. Уравнения поля можно разбить на явные уравнения движения

и уравнения связи

Последние показывают, что ни ни продольная составляющая 3-мерного вектора не являются независимыми динамическими переменными. Поэтому полезно записать

где

и

В обычных 3-мерных обозначениях уравнение, определяющее эрмитов оператор имеет вид

Это замечание можно использовать в уравнении движения для взяв дрвергенцию

Но мы должны все еще считаться с произвольностью калибровочного преобразования, которая указывает на невозможность полностью определить с помощью уравнений поля. Чтобы получить конечный набор операторов, выберем определенный вид калибровки. Естественно напрашивается трехмерно поперечная, или радиационная, калибровка

которая выделяет из очевидных уравнений движения новое уравнение связи

последнее может служить для определения

Теперь ясно, что независимыми динамическими переменными калибровочного поля являются поперечные 3-мерные векторы в полной аналогии с электродинамикой. Если вариация производится с учетом радиационной калибровки

то в операторе порождения присутствует только поперечная часть

смысл этого оператора ясен из уравнений

Объединяя эти соотношения с аналогичными свойствами альтернативного оператора порождения

мы получаем полный набор перестановочных соотношений для основных динамических переменных калибровочного поля

За исключением многомерности внутреннего пространства, эти перестановочные соотношения идентичны перестановочным соотношениям электромагнитного поля.

Возможность получать основные перестановочные соотношения чрезвычайно важна, так как она обеспечивает уверенность, что операторы, выбранные в качестве основных динамических переменных, действительно позволяют образовать операторы, дающие полный операторный базис, в чем и заключается основная роль динамических переменных как операторов. Иначе говоря, это делает явными инфинитиземальные преобразования группы квантовых трансформаций, которая вместе с координатой и другими инвариантными группами глубоко характеризует физическую систему.

Теперь можно подтвердить то, что ранее мы могли лишь предполагать. Вклад градиентного поля в операторы Та включает лишь поперечные составляющие так как не расходится. Каноническая структура перестановочных соотношений требует, чтобы

Это вместе с условием кинематической независимости между градиентным полем и другими системами

подтверждает, что сохраняющиеся Т-операторы подчиняются, групповым перестановочным соотношениям

Чтобы закончить эту часть исследования, следует получить явное операторное выражение продольной части Рассмотрим уравнение

и заметим, что его решение не накладывает никаких требований на свойства операторов, так как оно относится к полностью коммутативным в один и тот же момент времени составляющим Соответствующая функция Грина определяется дифференциальным матричным уравнением

в котором указанная функциональная зависимость от обеспечивает также зависимость от времени. Самосопряженный характер определяющего уравнения требует симметрии этой вещественной функции

Теперь вернемся к уравнению для и отбросим симметризацию что дает

где — эрмитова функция При решении этого уравнения последний член дает косо-эрмитову функцию которая исчезает при комбинировании с идентичным эрмитово сопряженным оператором. В результате получаем симметризованное выражение

или, в более символической форме,

Не существенно, производится ли симметризация независимо, как это было сделано, или одновременно с симметризацией произведения в Именно

что равно нулю, если в качестве А, В и С взять соответственно

Вид полного оператора как было установлено, символически записывается как:

или, совершенно эквивалентно, в следующих вариантах:

связь между которыми обеспечивается симметричностью Значение выражений в скобках разъясняется уравнениями

и

Коммутатор между в один и тот же момент времен» непосредственно выражается как

где последний оператор градиента действует на функцию, находящуюся слева от него.

Вид следует из уравнения

решением которого является

или

Отсюда непосредственно следует, что коммутатор

Символическое уравнение для этого коммутатора имеет следующий ясный смысл коммутатора в один и тот же момент времени:

Если выражение для подставить в уравнение для мы получим фундаментальное уравнение движения для поперечной составляющей

или, эквивалентно,

Использование этого уравнения движения дает коммутатор в один и тот же момент времени

Если ввести произвольную вещественную числовую поперечную векторную функцию и определить эрмитов оператор

то этот коммутатор принимает вид

где эрмитов вектор определяется как

Однако ожидаемое значение в вакууме для такого коммутатора не может никогда быть отрицательным:

и, следовательно,

Наконец, мы укажем коммутатор в один и тот же момент времени:

предоставляя доказательство читателю.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)