2. Матричный формализм

Будем использовать -мерное векторное пространство Р на полупростой алгебре Ли для -матриц из работы [6]. Исключая тождественное преобразование, будем использовать в качестве базиса восемь линейно независимых величин определяемых следующими формулами:

где индексы а и определяют элементы матриц. Величины эрмитовы, тогда как базисные матрицы не эрмитовы все, кроме которые диагональны. Поле может содержать только два линейно независимых диагональных элемента, а -мерное подпространство построенное на совокупности всех диагональных элементов, можно представить как вещественное евклидово -пространство. В этом -пространстве ортогональны: они не только коммутируют друг с другом, поскольку для всех но каждый из них коммутирует с некоторым 3-вращением, построить которое можно, приняв другое и за некое . В комплексе (1) такого рода 3-вращение образует форма так что

Мы будем использовать также другой базис отличающийся от только в

где снова ортогональны и коммутирует с 3-вращением

Теперь определим метрику в пространстве Р

так что

Заметим, что

Таким образом,

образует скалярное произведение в пространстве Р.

При использовании нашей алгебры для унитарных преобразований мы будем брать в качестве базиса инфинитиземальных операторов эрмитов комплекс V:

так что

т. e. скалярное произведение (8) в базисе V имеет евклидову форму.

При унитарном преобразовании ничный или двойной индекс в V) компонента преобразуется по формуле

и для

мы получаем следующие вариации:

Величины определяют -представление нашей алгебры в пространстве Р:

так что выражение (12) принимает в пространстве Р вид

или

где мы вернулись обратно к базису и