3. Трехпараметрическая калибровочная теория Янга и Миллса

Теперь перейдем от простого случая заряда или барионного числа к случаю изотопического спина I, подчиняющегося перестановочным соотношениям

На этот раз наши поля обладают изотопическим спином. Рассмотрим для простоты ноле с изотопическим спином (нуклон) и поле с изотопическим спином Соотношения, аналогичные (2.15), имеют вид

а инфинитиземальные калибровочные преобразования, аналогичные (2.1), будут тогда иметь вид

(Через обозначено затравочное значение параметра взаимодействия.) При таких преобразованиях производные по координатам, действующие на поля , претерпевают изменения

в соответствии с (2.2).

Чтобы построить калибровочно инвариантную теорию, необходимо ввести некоторое векторное поле с изотопическим спином 1. Калибровочное преобразование этого поля существенно отличается от (2.3), так как обладает изотопическим спином, тогда как фотон не имеет заряда. Таким образом, это поле не только смещается на градиент , но также претерпевает изотопическое вращение, как это имеет место для в (3.3). Поэтому калибровочное преобразование имеет вид

Для плотности лагранжиана поля следует выбрать выражение, инвариантное относительно этого калибровочного преобразования. Заметим, что величина

преобразуется по закону

Таким образом, простейшим калибровочно инвариантным лагранжианом будет

который, разумеется, нелинеен в отличие от (2.4). В уравнении движения, вытекающем из (3.8), источник поля А играет роль тока изотопического спина самого этого поля.

Теперь, когда задан лагранжиан , не содержащий поля А, но сохраняющий изотопический спин, можно ввести «минимальную» калибровочно инвариантную плотность лагранжиана, содержащую А:

где получается из при помощи подстановок

аналогичных (2.6).

Ток, являющийся источником поля задается формулой

несколько отличной от (2.12); этот ток сохраняется, причем аналогом заряда служит выражение

Если теперь добавить общий для трех типов векторного мезона массовый член

то калибровочная инвариантность нарушится (исключая случай постоянной А), но ток изотопического спина все еще будет сохраняться. К сожалению, при добавлении массы утрачивается перенормируемость теории, по крайней мере в обычном смысле [18, 19].