6. Примеры простых алгебр Ли

Простые алгебры Ли наинизшей мерности — это алгебры групп с Трудно предположить, чтобы какая-либо алгебра Ли более высокой размерности могла представить физический интерес.

Фиг. 1. Векторные корни алгебры

Фиг. 2. Векторные корни алгебры

Алгебра , или или это как раз алгебра изотопического спина, имеющая ранг 1. Следующие три алгебры — единственные алгебры ранга 2 — мы используем в качестве примеров. (Следует, однако, упомянуть, что следующая за ними алгебра группы или О(6) ранга 3 имеет прямое отношение к физике. Это алгебра матриц Дирака, след которых равен нулю, и в то же время алгебра старой теории Вигнера ядерных

супермультиплетов Корнями трех алгебр ранга 2 являются -мерные векторы, изображенные на фиг. 1—3. Как уже указывалось, ориентация и общий масштаб длины произвольны.

Во всякой алгебре удобно расположить один из корней вдоль первой оси и надлежащим выбором константы А нормировать его длину на единицу. Для безразлично, какой из корней мы ориентируем таким образом.

Фиг. 3. Векторные корни алгебры

Для каждого из двух других случаев имеются две неэквивалентные возможности; можно выбрать либо длинный, либо короткий вектор.

Если вдоль первой оси расположен «первый» кооень с длиной, равной 1, то элементы образуют компоненты углового момента, что легко видеть из перестановочных соотношгний (5.5) и (5.6). Кроме того, вторая коммутирующая величина коммутирует со всеми тремя компонентами

Рассмотрим алгебру . Используя наше соглашение о расположении векторов, можно рассчитать компоненты шести корней на фиг. 1:

Коммутирующие элементы можно рассматривать как принадлежащие некоторому «корню» . Что касается

изотопического спипа и то для 8 векторных мезонов будем иметь следующее: некоторый триплет с синглет с дублет с и дублет с Триплет связан с током -спина, синглет — с -током, два дублета — с токами поднимающего и опускающего индексы операторов, которые изменяют на и

Всякое представление алгебры можно проанализировать в терминах величин и Рассмотрим, например, определяющее представление мерности 3. Чтобы включить все перечисленные выше операторы, оно должно содержать некоторый синглет и дублет со значениями различающимися на 1/3/2.

Для нахождения величин определяющих коммутаторы в (5.10), следует выяснить, какие из корней на фиг. 1 можно сложить, чтобы при этом получались новые корни. Очевидно, единственный такой случай реализуется двумя корнями, расположенными под углом 120° один к другому; при сложении они дают корень, лежащий между ними. Из фигуры видно, что числа и в уравнении (5.11) в этом случае равны соответственно 0 и 1. Таким образом, .

Теперь обратимся к -мерной алгебре, корни которой изображены на фиг. 2. Если взять в качестве вектора (1,0) один из коротких векторов, то система корней дается как

Учитывая два векторных мезона, связанных с которые оба рассматриваются как , мы имеем триплет с триплет с триплет с и синглет с

Если рассматривать алгебру как принадлежащую группе то получится 4-мерное определяющее представление, которое соответствует с точки зрения проведенного выше анализа дублету с и дублету с . Если же алгебра рассматривается в связи с то определяющее представление будет -мерным и будет состоять, говоря на нашем языке, из двух синглетов с и одного триплета с

Рассмотрим теперь другую возможность, взяв в качестве вектора (1,0) один из длинных векторов. В этом случае -мер-ное сопряженное представление соответствует двум дублетам с трем синглетам с и одному триплету с -мерное представление дает дублет с и два синглета с а -мерное представление дает два дублета с и синглет с . В следующем пункте будет приведено не лишенное интереса физическое приложение этих случаев.

При оценке для -мерной алгебры мы сталкиваемся с двумя различными случаями, когда сложение двух корней дает третий корень. Как видно из фиг. 2, можно сложить длинный вектор с коротким, расположенным к нему под углом 135°, и получить при этом короткий вектор, расположенный под углами 45° к этому длинному. С другой стороны, можно сложить два коротких вектора, расположенных под прямым углом друг к другу, и получить в результате длинный вектор, лежащий между ними. В обоих случаях оказывается равным норме короткого вектора.

Наконец, обратимся к фиг. 3, изображающей систему корней группы Здесь имеются четыре различных случая, когда сложение двух корней дает третий. Для трех из этих случаев в раза больше нормы короткого вектора. В четвертом случае складываются два длинных вектора, расположенных под углом 120° друг к другу, и получается длинный вектор, лежащий между ними; равно удвоенной норме короткого вектора.

Здесь -спин вновь можно выбрать двумя способами. Если используется короткий вектор, сопряженное представление соответствует синглету и триплету с двум квартетам с и двум синглетам с Если же в качестве вектора (1,0) берется длинный вектор, то получается четыре дублета с синглет и триплет с и два синглета с

Для каждой из трех алгебр, взятых нами в качестве примеров, можно определить все представления низшей мерности, проанализировать их в терминах и и рассчитать матричные элементы различных операторов. Вся процедура представляет собой прямое обобщение того, что мы проделали в случае изотопического спина.