3. Математическая трактовка барионов

В случае изотопического спина известно, что различные возможные зарядовые мультиплеты соответствуют неприводимым представлениям простой алгебры -матриц, описанной выше для Каждый мультиплет имеет компонент, где квантовое число I отличает одно представление от другого и дает собственные значения оператора который коммутирует со всеми элементами группы изоспина и, в частности, со всеми элементами инфинитиземальной группы Операторы представлены внутри мультиплета эрмитовыми -матрицами, которым соответствуют те же перестановочные соотношения

что и -матрицам Случаю как раз и соответствует внутри дублета.

Если исходить из дублетного представления, то все другие представления можно построить, рассматривая суперпозиции частиц, которые трансформируются подобно основному дублету. Так, например, античастицы также образуют дублет (обратить внимание на знак «минус» при антинейтрино!). Взяв комбинацию мы получим синглет, т. е. одномерное представление, для которого все

Обозначая нейтрино и электрон через , можно описать синглет как , или, более сжато, ее. Три компоненты триплета можно образовать, взяв

Произведя перегруппировку, мы получим как раз . Среди этих трех состояний -матрицы для грех компонент задаются выражениями

Обобщим теперь эти известные результаты на систему трех состояний: Назовем их и положим Определим для этой системы так же, как в случае изоспина определялось

Восемь величин служат в этом случае компонентами оператора унитарного спина и мы будем применять эти же обозначения во всех представлениях. Первые три компоненты совпадают с тремя компонентами изотопического спина во всех случаях, будет всегда равняться помноженному на гиперзаряду (линейно связанному со странностью). Тогда компоненты будут во всех представлениях подчиняться тем же перестановочным соотношениям

что и в случае простого лептонного представления, в котором с перестановочными соотношениями (2.3)]. Однако свойства следов и антикоммутаторов будут сходными в различных представлениях не в большей мере, чем в случае Мы видим, что соотношения (3.1) представляют собой просто частный случай (3.3) при значениях индексов 1, 2 и 3, поскольку как раз для этих значений индексов все равны соответствующим с.

Здесь необходимо обратить внимание на важное различие между унитарным или -спином и изотопическим, т. е. -спином. В то время как простое изменение знака позволяет построить из дублет, преобразующийся под действием так же как в случае -спина, когда мы рассматриваем три антилептона вместе с тремя лептонами , ничего подобного сделать нельзя. Правда, антилептоны дают представление для но это представление, выражаясь математическим языком, неэквивалентно лептонному представлению, хотя оно и трехмерно. Причину этого легко усмотреть: при переходе от лептонов к антилептонам собственные значения электрического заряда, третьей компоненты и лептонного числа — все меняют знак, ввиду чего меняют знак и собственные значения Но для лептонов они равнялись следовательно, в случае антилептонов они образуют другую систему и не существует преобразования подобия, которое могло бы перевести одно представление в другое. Мы будем обозначать лептонное представление через 3 и антилептонное — через 3.

Рассмотрим теперь другую систему «частиц» которые преобразуются в точности, как лептоны 1а относительно группы унитарного спина, и возьмем их античастицы Будем следовать изложенному выше для изоспина и дублета методу. Прежде всего построим состояние или

Так же как состояние давало одномерное представление для в котором все исчезали, так и дает

одномерное представление для в котором исчезают все Назовем это одномерное представление 1. Теперь по аналогии с образуем Эти состояния преобразуются под действием подобно неприводимому представлению размерности 8, которое мы называем 8. В этом представлении -матрицы восьми компонент унитарного спина определяются аналогично (3.2) соотношением

Когда мы строили изотопический триплет из двух изодублетов в рассуждениях, приведших к (3.2), нам пришлось рассматривать линейные комбинации величин чтобы получить простые состояния с определенными электрическими зарядами и т. д. Здесь вновь необходимо проделать аналогичную процедуру. Применяя знак для обозначения слов «преобразуется подобно» (какому-то объекту), определяем

Наиболее ясно смысл того, что мы делаем, выражен в последнем столбце, где мы ввели обозначения для -частиц, аналогичных -частицам Здесь обозначает дублет, синглет по отношению к изотопическому спину. Пользуясь последним столбцом, легко видеть, что изотопические спины, электрические заряды и гиперзаряды мультиплетов в точности совпадают с теми, которые мы обычно приписываем указанным барионам.

Поэтому мы говорим, что 8 известных барионов образуют один вырожденный супермультиплет по отношению к группе унитарного спина. Если ввести возмущение, которое преобразуется подобно

разности масс то супермультиплет как раз распадется на известные мультиплеты (конечно, отщепится от одновременно с отходом от Разумеется, возможен другой тип бариона, именно нейтральный синглет, преобразующийся подобно Если подобная частица существует, она должна быть очень тяжелой и крайне стабильной. В настоящее время нет никаких указаний на ее существование.

Мы не будем приписывать физического смысла «частицам» и из которых были сконструированы барионы. Высказанные до настоящего момента соображения являются на самом деле лишь математическим введением к свойствам унитарного спина.