3. Обобщение на случай странных частиц

В рассмотренной выше модели образовывали 4-вектор в 4-мерном евклидовом многообразии, в то время как представляли собой 4-спинор. Для включения -мезонов в нашу

схему ее можно непосредственно расширить, рассматривая - и -частицы как вектор в некотором -мерном пространстве, а 16 барионов (8 барионов, разложенные на свои правые и левые компоненты) — как -компонентный спинор в этом пространстве.

Используемый нами формализм был в основном развит Тиомно 15]. Начнем с краткого изложения этого формализма. Запишем

Если все константы К-связей равны, то обычный псевдоскалярный (или псевдовекторный) лагранжиан сильных К-заимодействий можно записать в виде

Положим этот лагранжиан будет равен

где

Эти Г-матрицы представляют собой -матрицы, принадлежащие некоторому 6- или 7-мерному многообразию. Спинор есть -столбец.

При помощи можно записать и обычные псевдоскалярные (или псевдовекторные) -взаимодействия.

Определим дополнительно матрицы

Матрицы антикоммутируют. Если константы всех -связей равны (и, в частности, если то можно записать в виде

Ясно, что и -мезоны образуют вектор в некотором -мерном пространстве.

На этом мы кончаем краткое резюме формализма Тиомно. Теперь можно применить метод, аналогичный рассмотренному в п. 2, и получить выражение, которое будет содержать члены типа

позволяющие записать эффективный лагранжиан типа Тиомно для псевдовекторных сильных взаимодействий. Запишем

Шестнадцати-компонентная величина образует спинор в -мерном пространстве. Набор антикоммутирующих матриц Дирака для такого пространства можно взять в виде

В -мерном пространстве существует 28 вращений. Семь из этих вращений с соответствующими спинорными матрицами вращения

дают

т. е. лагранжиан Тиомно с вместо вместо Поля ведут себя в отношении изотопического спина и т. в точности так же, как и -мезоны.

Поскольку эти семь матриц вращения не образуют алгебры Ли, лагранжиан взаимодействия должен содержать другое поле, соответствующее остающемуся вращению. С точки зрения п. 2 эти последние дают только слабые взаимодействия. Общий анализ этих выражений недавно дал Гюрши [6], который также принимает формализм Тиомно и строит теорию слабых взаимодействий, аналогичную теории Гелл-Манна и Леви.

С нашей точки зрения, может оказаться более выгодным рассмотреть два поля а и а, так чтобы представляло собой 4-вектор, а -5-вектор. Получающийся в этом лагранжиан сильных взаимодействий содержал бы два параметра связи Пространства будут в известном смысле двумя (несвязанными) компонентами некоторого -мерного пространства. Даже в случае лагранжиана Тиомно можно рассматривать и -мезоны как частицы, соответствующие несвязанным компонентам -мерного пространства. Так, если заменить Гаяа в формуле (8) на где то мы увидим, что и К больше не образуют -вектора. Следует ограничить разрешенные вращения таким образом, чтобы -мезоны не трансформировались в -мезоны.

Возвращаясь к -мерному пространству, замечаем, что если образует 4-мерное, а -мерное подпространства, то, очевидно, полное число промежуточных бозонов будет Семь из них будут осуществлять сильные (псевдо-векторые) взаимодействия и девять — слабые (векторные) взаимодействия. Все эти взаимодействия сохраняют четность и изотопический спин.