6. Геометрическая интерпретация

До сих пор мы не придали никакой геометрической интерпретации преобразованию (4.1) и новым полям Между тем подобная интерпретация весьма полезна, так как она позволяет сравнить нашу теорию с известной метрической теорией гравитации.

Теперь -преобразования будут общими преобразованиями координат. Согласно (4.11), преобразуется при этих преобразованиях как контрвариантный вектор, а и — как ковариантные векторы. Величина

представляет собой ковариантный симметричный тензор, поэтому ее можно интерпретировать как метрический тензор риманова пространства. Кроме того, она инвариантна относительно -преобразования. Очевидно, греческие индексы можно рассматривать как индексы мирового тензора, причем для поднятия или опускания этих индексов необходимо, разумеется, использовать тензор вместо метрического тензора пустого пространства т. Легко видеть, что скалярная плотность равна где

Далее, с точки зрения тождества являются соответственно контрвариантными и ковариантными компонентами 4-репера в римановом пространстве (см., например, Поэтому -преобразования следует интерпретировать как вращения 4-репера, а латинские индексы — как локальные тензорные индексы относительно этого 4-репера. Исходное поле можно разложить на локальные тензоры и спиноры [12] умножением на или на а из полученных тензоров можно образовать соответствующие мировые тензоры. Например, из локального вектора можно построить мировые векторы

Использование одного и того же символа в применении к локальному и мировому векторам не вызовет путаницы, так как эти

векторы отличаются типом индексов [фактически мы уже использовали это обстоятельство в (5.2)]. Заметим, что так что равенства (6.2) совместны с выбором метрики (6.1). Мы будем часто использовать эту связь мировых тензоров с данными локальными тензорами, не оговаривая ее явно каждый раз.

Компоненты поля естественно назвать коэффициентами «локальной аффинной связности» относительно 4-репера, так как они определяют ковариантные производные локальных тензоров и спиноров. В случае локального вектора эти производные имеют вид

Можно заметить, что соотношение (4.10) между и того же типа, что и (6.2), и, согласно оговоренному выше условию, можно было бы просто записать

Однако сохраним два различных обозначения, так как мы намереваемся расширить определение ковариантной производной несколько иным образом, чем это было сделано в п. 4. Естественно определить ковариантную производную мирового тензора через ковариантную производную соответствующего локального тензора. Так, например, для того чтобы определить ковариантные производные мировых векторов (6.2), нужно образовать мировые тензоры, соответствующие (6.3). Это дает

где

Заметим, что такое определение эквивалентно требованию равенства нулю ковариантных производных от компонент 4-репера

Для некоторой величины а, преобразующейся по закону

ковариантная производная определяется следующим образом {см., например, [11]):

а -ковариантную производную, определенную в п. 4, можно получить из (6.8), просто опустив последний член. Заметим, что эти две производные совпадают только для чисто локальных тензоров и спиноров. Легко получить выражение для коммутатора двух ковариантных дифференцирований

где и определяются обычным образом через Обе эти величины — мировые тензоры, и их не трудно выразить через

Отсюда видно, что есть тензор Римана, построенный из коэффициентов аффинной связности Г.

Из (6.6) следует, что

так что истолкование величин как коэффициентов аффинной связности в римановом пространстве не приводит к противоречиям. Однако определение (6.5), очевидно, не гарантирует симметричность этих коэффициентов, поэтому в общем случае они не совпадают с символами Кристоффеля. Скалярная кривизна имеет обычный вид

поэтому свободный лагранжиан гравитационного поля совпадает с обычным, за исключением того, что входящие в него несимметричны. Заметим, что было бы неправильно понимать 64 компоненты как независимые переменные, так как мы имеем лишь 24 компоненты Действительно, на величины наложены ограничения в виде 40 тождеств (6.11). Следовательно, здесь нет противоречия с хорошо известным фактом, что лагранжиан Палатини первого порядка с несимметричными не дает (6.11) в качестве уравнений движения.

Уравнения (5.5) и (5.6) можно переписать в виде

Из уравнений (6.10) и (6.13) видно, что коэффициенты аффинной связности в пустом пространстве симметричны и поэтому равны символам Кристоффеля . (Они являются аналогами мировых тензоров В этом случае — симметричный, тензор, и уравнения (6.12) переходят в известные уравнения. Эйнштейна для пустого пространства

Однако в присутствии материи коэффициенты становятся несимметричными и их антисимметричная часть дается выражением (6.13). В этом случае тензор также несимметричен, и соответственно несимметрична плотность тензора энергии ибо входят в не только через симметричные комбинации . Таким образом, данная теория несколько отличается от обычной в направлении, впервые указанном Вейлем В следующем пункте мы рассмотрим эту разницу более подробно [5].

Наконец, мы можем переписать ковариантные законы сохранения, используя мировые тензоры. Удобно определить свертку

ибо тогда ковариантная дивергенция плотности вектора будет иметь вид

Законы сохранения запишутся как

Легко видеть, что эта запись несколько сложнее записи черезг -ковариантную производную.