Приложение

В этом приложении мы обсудим остающуюся неоднозначность в выборе модифицированного лагранжиана. В п. 4 было отмечено, что общековариантные лагранжианы, полученные из двух эквивалентных лагранжианов вообще говоря, не будут эквивалентными. Теперь можно видеть, что в действительности они отличаются на ковариантную дивергенцию. Таким образом, (4.14) можно записать в виде

но в силу (6.14) оно не представляет собой обычной дивергенции. Очевидно, что в общем случае изменение на дивергенцию должно изменить 8 на ковариантную дивергенцию величины, которая представляет собой плотность вектора при координатных преобразованиях и инвариант при всех других преобразованиях. В этом и состоит причина различия между общим случаем и случаем линейных преобразований, рассмотренных в п. 2.

Исследуем теперь возможность выбора такого критерия, который позволит выделить некоторую конкретную форму и тем самым определить 8 полностью. Очевидно, строгого единого критерия для выбора того или иного лагранжиана нет, но аргументы в пользу того или иного конкретного выбора можно указать.

Наиболее естественным было бы потребовать, чтобы лагранжиан был записан в симметризованнбй форме первого порядка, предложенной Швингером [15]. В случае скалярного поля, рассмотренного в п. 4, эта последняя имеет вид

Она соответствует симметричному положению в теории. Однако этот выбор лагранжиана в действительности не может считаться правильным, так как в некоторых случаях нельзя рассматривать таким образом. В самом деле, существует одно важное различие между этими двумя лагранжианами: зависит от тогда как не зависит. Соответственно для величина обращается в нуль, а для имеет вид

Конечно, законы сохранения в этих двух случаях одинаковы, благодаря тому что соответственно различаются и величины Далее, тензор часто интерпретируется как спиновая плотность [15], следовательно, в этих двух случаях мы имеем различные разбиения полного момента на орбитальную и спиновую части. Обычно скалярное поле рассматривается как поле бесспиновых частиц, поэтому естественно ожидать, что обратится в нуль. Это соображение может, таким образом, служить некоторым критерием, на основе которого мы выбираем а не В этом случае предпочтение отдается «волновой функции» а не «импульсу» и в лагранжиан включаются только производные от Таким образом, мы достигаем того, что тензор спина обращается в нуль, поскольку матрицы равны нулю для скалярного поля а не для векторного поля Можно заметить, что выбор лагранжиана становится автоматическим, если выписать лагранжиан во втором порядке только через

что дает модифицированный лагранжиан

эквивалентный Этот лагранжиан следует сопоставить с формой второго порядка лагранжиана 82, которая имеет вид

и, очевидно, отличается от на ковариантную дивергенцию.

Эти соображения как будто бы дают разумный критерий, но их нельзя считать решающими. Ибо, хотя тензор спина, полученный из и не равен нулю, пространственные компоненты полного спина

равны нулю. Таким образом, отличаются только значениями спиновой части (-компонент полного углового момента. Действительно, легко видеть, что всякое добавление дивергенции к изменит лишь (-компоненты И поскольку не совсем ясно, какой смысл следует придавать разделению этих компонент на «орбитальную» и «спиновую» части, естественно

поставить вопрос, можно ли ожидать, что спиновая часть исчезает для частиц со спином 0. Но даже при учете этого замечания наиболее разумно выбрать

Для поля со спином 1 соответствующий выбор приводит к лагранжиану

другими словами, выбор оказывается опять-таки эквивалентным выбору лагранжиана второго порядка только по членам а. Это дает величину

которую естественно определить как спиновую плотность. Модифицированный лагранжиан можно выразить только через компоненты мирового вектора а:

Необходимо отметить, что лагранжиан электромагнитного поля нельзя получить, положив просто Дело в том, что производные в являются ковариантными, и так как компоненты несимметричны, ковариантный ротор не равен обычному (хотя оба, конечно, тензоры). На самом деле, выражение не было бы калибровочно инвариантным. Причина этого заключается в том, что здесь рассматриваются просто как компоненты тогда как А вводится вместе с гравитационными полевыми переменными для того, чтобы обеспечить калибровочную инвариантность.

Для спинорного поля равноправие очевидным образом приводит к требованию, чтобы был выбран симметризованный лагранжиан вида

Такой лагранжиан приводит к следующему выражению для спиновой плотности:

Так как лагранжиан должен быть эрмитово сопряженным, мы не можем включить в него производные только от Имеется, однако, другая возможность: мы можем ввести различие между лево- и правосторонними компонентами рассматривая одну из них подобно и другую подобно Это приводит к лагранжиану

Лагранжиан такого вида может показаться довольно неестественным, но о нем необходимо упомянуть, ибо существуют и другие соображения, обосновывающие неравноправное рассмотрение (см. [17]).

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)