2. Однопараметрическая калибровочная теория

Калибровочный формализм электромагнитной теории хорошо известен. Обобщение, связанное с переходом от заряда к

барионному числу, рассмотрели Янг и Ли [14]. Как явствует из этой работы, такое обобщение не будет противоречить эксперименту лишь в случае парадоксально малой константы связи или в случае нарушения калибровочной инвариантности, например за счет наличия массового члена в уравнениях векторного поля. Дадим обзор этого метода.

Начнем со случая некоторой аддитивной величины типа заряда или барионного числа, которую обозначим через Пусть поля уничтожают частицы заряда и порождают их античастицы. Обсудим инвариантность при инфинитиземальных калибровочных преобразованиях:

Всегда, когда на действует оператор дифференцирования по координате да, последняя будет испытывать преобразование

Чтобы скомпенсировать это изменение, вводятся некоторое векторное поле претерпевающее калибровочное преобразование

и плотность лагранжиана поля , инвариантная при этом преобразовании, скажем

Пусть лагранжиан в отсутствие поля и взаимодействий с ним будет и пусть он сохраняет . Тогда «минимальный» калибровочно инвариантный лагранжиан, содержащий будет равен

где получается из заменой

Очевидно, что (2.5) дает калибровочно инвариантный лагранжиан, причем описанная процедура получения лагранжиана является обычной. Но что мы подразумеваем под словом «минимальный»? Дело в том, что к лагранжиану (2.5) можно было бы добавить новые калибровочно инвариантные члены, содержащие напряженности поля Однако в случае электромагнетизма природа, по-видимому, не использует такие члены.

Для примера рассмотрим дираковскую частицу с зарядом для которой является спинором и плотность свободного лагранжиана имеет вид

Подстановка (2.6) дает обычное взаимодействие

но не дает паулиевского момента. Вообще говоря, мы полагаем, что эффективные паулиевские моменты нуклонов возникают из обычного электрического взаимодействия с мезонным облаком, окружающим нуклон, а не из соответствующего члена в лагранжиане

Тем самым делается попытка [15] установить некоторый принцип минимального электромагнитного взаимодействия, согласно которому электромагнитное поле взаимодействует с электрическим зарядом только обычным путем [как в (2.6)], а не с помощью специальных зависящих от поля членов в основном лагранжиане типа (2.9).

Трудность, связанная со всякой попыткой дать определенную математическую формулировку принципу минимального электромагнитного взаимодействия, заключается в следующем [16,17]. Различные плотности лагранжиана (отличающиеся на дивергенции от 4-векторов) могут приводить к одним и тем же уравнениям движения. Однако если выбрать таким путем некоторый новый лагранжиан то получающееся электромагнитное взаимодействие (и уравнения движения, учитывающие электромагнитное поле) может стать существенно иным. Тем самым можно получить член (2.9), соответствующий моменту Паули, при помощи «минимальной» процедуры (2.6), если добавить к обычному в (2.7) член

Отсюда видно, что процедура (2.6) определяет «минимальное» взаимодействие только в том случае, если исходная плотность лагранжиана сама выбрана некоторым «минимальным» образом. Мы должны приписать известный физический смысл и говорить, что (2.7) правильно описывает дираковскую частицу, а добавление члена (2.10) приводит к неправильной плотности лагранжиана для дираковской частицы, несмотря на то что уравнением движения при отсутствии электромагнитного поля в обоих случаях служит обычное уравнение Дирака.

Конечно, мы пока еще не определили какого-либо четкого пути для нахождения «минимального» во всех случаях. Однако эта трудность не ограничивается проблемой электромагнитных взаимодействий. Даже без электромагнитных и без сильных и слабых взаимодействий все еще следует приписывать физический смысл

лагранжиану поскольку он определяет гравитационное взаимодействие. Если, добавив к некоторый член типа (2.10), строить обычным образом тензор энергии — импульса — натяжений, то результат, получаемый при учете добавки, не будет совпадать с первым. Действительно, гравитационные взаимодействия конструируются из посредством процедуры, очень сходной с процедурой (2.6) для электромагнитного поля.

Вернемся к теории, которая характеризуется плотностью лагранжиана (2.5). Уравнения движения для поля имеют вид

где обозначает лагранжеву производную Формулу для тока можно выразить иначе следующим образом. Рассмотрим некоторое калибровочное преобразование, при котором поля преобразуются согласно (2.1), а не преобразуются. Обозначим частные производные по А и при таком преобразовании через

Далее замечаем, что поскольку полностью калибровочно инвариантен, производная

равна взятой со знаком минус производной, которая получается, когда и только компоненты подвергаются калибровочному преобразованию. Но эта производная равна в точности Таким образом,

Ток вычисляется из лагранжиана (либо либо путем некоторого калибровочного преобразования, действующего только на поля и не затрагивающего

Отметим далее [6], что при каждом локальном калибровочном преобразовании вследствие уравнений Эйлера—Лагранжа для самих полевых переменных эти уравнения оказываются

справедливыми и для калибровочной функции, хотя она и не является полевой переменной. Таким образом,

Но лагранжиан инвариантен при калибровочных преобразованиях с постоянной калибровочной функцией. Следовательно, ток сохраняется:

Возвращаясь к уравнению движения (2.11), мы видим, что можно наложить добавочное условие

Наконец, константу движения — можно отождествить с зарядом До сих пор мы рассматривали уравнения движения с классических позиций; в квантовой механике является оператором и удовлетворяет перестановочным соотношениям

Теперь, когда обрисована в общих чертах полностью калибровочно инвариантная теория, можно обсудить, что произойдет, если добавить к некоторый член, нарушающий общую калибровочную инвариантность, но сохраняющий калибровочную инвариантность первого рода, т. е. с постоянной А. В качестве простого примера возьмем массовый член векторного мезона

Очевидно, единственным следствием учета такого члена будет то, что уравнение движения (2.11) примет вид

в то время как выражение (2.12) для тока и закон сохранения (2.14) останутся без изменений. Мы имеем векторный мезон, связанный с сохраняющимся током, в «частично калибровочно инвариантной» теории.