4. Обобщения

Теперь можно взяться за решение нашей основной проблемы, проблемы классификации теорий, являющихся непосредственными обобщениями теории Янга—Миллса. Представим себе совокупность полей, таких, как два вида нуклонов и три вида -мезонов в для которых операция калибровки соответствует некоторому линейному преобразованию, как в (3.3). Можно записать для нашего обобщения

Наши независимых калибровочных функций можно взять вещественными, а в данном случае пусть будут произвольными комплексными -матрицами.

Плотность лагранжиана предполагается инвариантной относительно преобразований (4.1) с постоянными калибровочными функциями . В таком случае преобразование (4.1) должно быть унитарным, а матрицы — эрмитовыми. Производные по координатам, действующие на претерпевают изменение согласно формуле

Чтобы скомпенсировать это изменение, вводим эрмитовых полей компенсирующих калибровочные функции Вместо (3.5) имеем

где все индексы в пробегают значения от 1 до Величины с должны быть вещественными, чтобы обеспечить эрмитовость полей А. Теперь нужно определить свойства которые позволили бы реализовать метод Янга—Миллса.

Прежде всего необходимо найти калибровочно инвариантный лагранжиан для Будем искать напряженность поля, которая преобразовывалась бы по простому закону, подобно в (3.7); положим

Закон преобразования этой величины, вообще говоря, очень сложен. Используя правило суммирования, получаем

Чтобы получить закон, аналогичный (3.7), нужно положить

В этом случае имеем

где

Теперь плотность лагранжиана

будет действительно калибровочно инвариантной при условии, что

Таким образом, необходимыми и достаточными условиями для построения обобщенного поля Янга — Миллса оказываются следующие условия:

Сама теория Янга — Миллса оказывается частным случаем при что, очевидно, удовлетворяет условиям (4.12).

Теперь нужно связать поле с током, порождаемым калибровочным преобразованием (4.1) величин Необходимо построить из полностью калибровочно инвариантную величину Чтобы калибровочные преобразования (4.2) и (4.3) компенсировали друг друга, используем при построении из условие, аналогичное (3.10):

При унитарном преобразовании (4.1), которое можно записать в виде

величины М преобразуются по правилу

в то время как да и преобразуются, соответственно, как в (4.2) и (4.3). Таким образом, (4.13) дает калибровочно инвариантную плотность лагранжиана в том и только в том случае, когда

(по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Очевидно, это выражение представляет собой некоторое обобщение перестановочного соотношения (3.1) для изотопического спина.

Для того чтобы определяли перестановочное соотношение (4.15), они должны подчиняться двум условиям. Во-первых,

правило

говорит о том, что должно быть антисимметричным по и но это уже известно из (4.12а). Во-вторых, должно выполняться тождество Якоби

которое как раз и дает (4.126). Остается условие, чтобы было антисимметричным не только по и но и по другим парам индексов. К обсуждению следствий этого последнего условия мы еще вернемся.

Предположим, что все значения индекса можно разделить на две группы, такие, что сий если относится к одной группе, а — к другой. Тогда поля одной группы и поля другой группы не связаны друг с другом никаким из рассмотренных калибровочных преобразований. Точно так же операторы принадлежащие одной группе индексов, коммутируют с относящимися к другой группе. В этом случае мы имеем дело с линейной суперпозицией двух совершенно независимых теорий Янга—Миллса, которые могут иметь существенно различные константы взаимодействия и не быть непосредственно физически связанными друг с другом. Можно было бы ограни читься рассмотрением одной из них.

Можно пойти даже дальше. Предположим, что наша теория не упрощаема в указанном смысле. Мы можем осуществить любое вещественное вращение в -мерном пространстве поворачивая одновременно и калибровки [Свойства (4.12) величины не изменяются при таком В результате такого вращения может оказаться, что наша теория является упрощаемой. В таком случае ограничимся рассмотрением одной из частей, на которые распадается новая упрощаемая теория. Будем продолжать этот процесс, пока не получим неупрощаемой теории Янга—Миллса, такой, для которой индексы никаким вращением в -мерном пространстве нельзя разбить на две группы значений, не связанных величинами . В дальнейшем мы будем иметь дело с такими неупрощаемыми, или «простыми» теориями; теория самого общего вида может быть построена из них путем обычной суперпозиции и вращения.

Простые теории с более чем одним векторным мезоном имеют одно важное свойство — они характеризуются единой универсальной константой связи. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим два различных мультиплета фермионов которые оба связаны с посредством (4.13), но, возможно, с различными константами связи Мерность матриц

действующих на определяется условием (4.15). Из требования инвариантности взаимодействия при одновременных вращениях согласно (4.1), и согласно (4.3), ясно, что: а) либо можно разделить на две группы, одна из которых взаимодействует только с а другая — только с такая теория не может быть простой; б) либо это возможно только в том случае, когда теория представляет собой суперпозицию одной или нескольких тривиальных однопараметрических теорий;

в) либо — нетривиальная простая теория должна также быть и универсальной.

Далее, как нетрудно показать, условие полной антисимметричности величины эквивалентно условию

для «простой» теории. Для первоначальной теории Янга — Миллса, в которой представляют собой матрицы, изотопического спина, равенство (4.18), очевидно, выполняется.

Теперь можно сформулировать необходимые и достаточные условия существования простой обобщенной калибровочной теории. Необходимо найти алгебраическую систему, например систему величин определяемую коммутатором который подчиняется условию антисимметрии (4.16) и тождеству Якоби (4.17), а также соотношению

с вещественными, полностью антисимметричными Кроме того, никаким вещественным вращением нельзя привести к системе, которую можно было бы расщепить на две коммутирующие части.

Алгебраическую систему такого рода всегда можно представить различными наборами эрмитовых матриц подчиняющихся

тем же самым правилам, а также условию (4.18). Построение теории Янга—Миллса тогда следует развитой выше схеме.

Рассматриваемые алгебраические системы хорошо известны в математике. Одна из них с тривиальна; мы ее рассмотрели в Все другие системы, включая случай Янга — Миллса с называются простыми алгебрами Ли (строго говоря, простыми алгебрами Ли в специальном случае вещественной формы). В качестве таковых они уже полностью классифицированы. Известны все возможные алгебры и изучены их представления через эрмитовы матрицы . В следующем пункте мы рассмотрим эту классификацию и некоторые простые случаи.

Связь теории Янга—Миллса с алгебрами Ли рассматривал Утияма [20], однако он не упоминает о тех жестких ограничениях алгебры Ли, которые необходимо ввести, чтобы получить теорию векторного мезона с положительными вероятностями.