3. Группа фазовых преобразований и электромагнитное поле
Рассмотрим некоторое заряженное поле 
Лагранжиан этой системы предполагается инвариантным относительно фазового преобразования
где а — некоторая вещественная постоянная. Так как эта однопараметрическая группа коммутативна, то структурная константа, конечно, равна нулю. Заменяя константу а некоторой скалярной функцией 
вводим векторное поле 
Трансформационные свойства 
описываются формулой
в соответствии с общим законом (1.11). Новый лагранжиан 
имеет вид
где 
определяются выражениями
так как в нашем случае
Лагранжиан 
для свободного поля А будет равен
где
Ток 
можно получить из двух различных выражений:
4. Группа вращения в пространстве изотопического спина и поле Янга—Миллса
В качестве примера рассмотрим систему полей протона и нейтрона
Лагранжиан в зарядово независимой теории инвариантен относительно вращения в 3-мерном пространстве изотопического спина. При таком вращении
где 
— обычные матрицы изотопического спина.
В этом случае общее выражение для величины Т, определенной в 
сводится к матрицам 
а именно
Заменяя параметры 
функциями 
вводим поле Янга — Миллса
которое войдет в лагранжиан в следующей комбинации (см. (1.10)]:
Вариация величины 
записывается в виде [см. (1.10) и (1.13)]:
где 
определяется соотношением
Производная от 
может войти только в комбинации (см. (1.18)]
Вариации величин 
имеют следующий вид:
а
Как было установлено в 
ведет себя как вектор по отношению к группе вращения, т. е. изотопический спин 
-поля равен 1. Выражение для тока имеет вид [см. (1.25) и (1.24)]
