Приложение I
Условие (1.19)
В этом приложении мы покажем, как строится инвариант из величин 
Рассмотрим некоторую величину 
трансформационные свойства которой относительно преобразования (1.20) контраградиентны трансформационным свойствам 
Так как величина
по определению, инвариантна, то 
определяется следующей формулой:
Например, величина
преобразуется контраградиентно к величине 
так как 
имеет вид
При учете соотношения (1.3) последнее выражение принимает вид
Снова используя (1.3), преобразуем первый член этого выражения:
Так как второй член взаимно уничтожается с последним, то
Пусть 
— контравариантный, а 
— ковариантный векторы относительно преобразования (1.20). Кроме того, будем считать, что величина 
контравариантна по индексу а и ковариантна по индексам 
с. Тогда, как нетрудно видеть, 
будет постоянным и инвариантным тензором, поскольку
а это выражение обращается в нуль в силу соотношения (1.3). Следовательно, наше предположение относительно трансформационных свойств 
совместно с ковариантным характером 
Используя величину
и обратную ей величину 
можно легко построить тензорную алгебру, подобную той, которая применяется в теории
относительности. Так, например, будут существовать инварианты
В случае группы вращения в 3-мерном пространстве изотопического спина (см. 
компоненты 
будут иметь следующие значения:
Следовательно,
и
Другой хорошо известный пример дает группа Лоренца. В этом случае
и
Если 
— функция единственного инварианта 
то легко доказать тождество
В самом деле, левую часть (1.19) можно записать в такой форме:
Выражение в скобках обращается в нуль в силу (1.3). Таким образом, действительно существует семейство лагранжианов 
которые являются функциями только от 
и удовлетворяют условию (1.19).
