5. О простых алгебрах Ли

Прежде всего перечислим все простые алгебры Ли по Картану [21]. Каждую из них можно, конечно, рассматривать как алгебру инфинитиземальных операторов, образующих непрерывную группу, которую называют простой группой Ли.

А. Прежде всего имеется бесконечная последовательность унитарных унимодулярных групп группа состоит из всех унитарных преобразований с равным 1 детерминантом в -мерном комплексном пространстве. В этом случае инфинитиземальные операторы изоморфны эрмитовым -матрицам с равным нулю следом; очевидно, имеется независимых матриц такого типа, и, следовательно, алгебра имеет элементов Таким образом,

Мы уже построили, кстати говоря, представление наинизшего ранга при помощи матриц мы просто используем эрмитовых -матриц с равным нулю следом. Их, конечно, можно выбрать так, чтобы выполнялось условие (4.18). Более

того, это представление является неприводимым. (Во избежание недоразумений заметим, что алгебра элементов в уже простая, никаким вещественным вращением в -мерном пространстве нельзя подразделить ее на две части, которые не связывались бы коэффициентами Однако представление алгебры посредством -матриц может быть приводимым. Иными словами, может иметь место некоторое унитарное преобразование в -мерном пространстве величин которое приводит все одновременно к ящичной форме и дает возможность выявить представление более низкого ранга рассматриваемой алгебры. Если такая редукция невозможна, представление является неприводимым.)

Алгеброй изотопического сиина является алгебра здесь Неприводимое представление при помощи удовлетворяющих (4.18) эрмитовых -матриц с равным нулю следом есть известное представление спина 1/2. Известны также все другие неприводимые представления, которые классифицированы по значению матрицы коммутирующей со всеми Представление соответствует изотопическому спину и имеет размерность

Б. Имеется бесконечная последовательность групп вращений в вещественном -мерном пространстве Мы опустили , так как это есть как раз однопараметрическая группа, соответствующая электромагнитному полю, и этот вырожденный случай не включается математиками в простые группы Ли. Группа —группа 3-мерных вращений, и, как известно, она по существу совпадает с группой изотопического спина. 4-мерная группа вращений оказалась не простой; она эквивалентна прямому произведению Группы О(5) и О(6) опущены по той причине, что они по существу совпадают с (см. ниже) и соответственно. Таким образом, мы начинаем с Размерность алгебры определяется точно числом инфинитиземальных вращений Фактически кососимметричные -матрицы инфинитиземальных вращений (мнимые и антисимметричные) образуют неприводимое матричное представление алгебры группы.

В. Третья бесконечная последовательность простых групп Ли — это последовательность симплексных групп Алгебра инфинитиземальных элементов является алгеброй кососимплексных -матриц. Мы снова имеем

естественное неприводимое представление алгебры -матриц. Заметим, что опущена, поскольку эта группа представляет собой то же самое, что и

Г. Наконец, имеется еще пять простых групп Ли и соответствующих алгебр Ли. Они называются особыми алгебрами Ли, и их обозначения и размерности таковы:

В нашем перечне каждая простая алгебра Ли (за исключением особых, для которых можно сделать то же самое) была определена указанием одного из ее матричных представлений. В каждом случае предполагалось, что -матриц определяющего представления должны быть эрмитовыми и удовлетворять соотношению (4.18). Тогда получается простая алгебра Ли в «вещественной форме» с вещественными, полностью антисимметричными . В каждом случае мы фиксируем значение константы в (4.18) для определяющего представления; тем самым задается мерность величин М и с.

Для всякой данной алгебры Ли матрица коммутирующая [как легко видеть из (4.15)] со всеми равна некоторому числу для каждого неприводимого представления. (Такая ситуация обычна для алгебры изотопического спина, как было упомянуто выше.) Пусть величина для представления будет равна Тогда константа в (4.18) для этого представления равна где — мерность представления.

В нашей обобщенной теории Янга—Миллса различные поля связанные с распадаются на мультиплеты, каждый из которых соответствует неприводимому представлению алгебры. До тех пор, пока симметрия сохраняется при калибровочных преобразованиях с постоянной калибровочной функцией, мультиплеты вырождены. Чиспо частиц в мультиплете равно, конечно, мерности представления.

Далее, векторных полей представляет векторных частиц, которые также образуют вырожденный мультиплет. Они также соответствуют неприводимому представлению алгебры, называемому сопряженным представлением, с той же мерностью, что и сама алгебра. (Например, в случае изотопического спина, для которого сопряженное представление — это представление с изотопическим спином 1 и векторные мезоны образуют здесь изотопический триплет.) Матрицы сопряженного представления легко построить. Они просто имеют вид

Справедливость этой формулы очевидна из сравнения трансформационных свойств при постоянной калибровочной функции и трансформационных свойств (4.1). Пусть в сопряженном представлении

Тогда А определяет мерность алгебры. Это произвольная положительная константа; из сказанного ранее ясно, что она равна значению для сопряженного представления. Для любых линейных комбинаций величин можно определить скалярное произведение

Тогда имеем

Можно было бы теперь характеризовать каждую простую алгебру Ли при помощи констант однако они подвержены произвольным ортогональным преобразованиям в -мерном пространстве величин Инвариантную характеристику, удобную с физической точки зрения, можно построить следующим образом. (Ниже приводятся без доказательства известные математические результаты

Каждая простая алгебра имеет некоторое определенное максимальное число элементов, коммутирующих друг с другом; будем называть рангом алгебры. Элементы алгебры можно тогда перенумеровать следующим образом:

Здесь величины С представляют, собой максимальный набор коммутирующих элементов; величины Е не являются вещественными и представляются неэрмитовыми матрицами, но представляются эрмитово сопряженными матрицами. Соответствующие векторные поля — комплексные. Величины Е можно выбрать так, чтобы они обладали следующими свойствами:

Величины С аналогичны в алгебре изотопического спина, а аналогичны операторам поднимающим и опускающим индексы. Величины являются возможными разностями собственных значений операторов в любом представлении. Они вещественны, и их можно рассматривать как различных ненулевых векторов в вещественном -мерном пространстве.

Набор комплексных векторных полей, соответствующих дает векторных частиц, обладающих определенными значениями величин Си а именно Таким образом, в теории Янга—Миллса два заряженных мезона имеют

Векторы в вещественном -мерном пространстве С называются корнями. Их длины и углы между ними представляют собой инвариантные свойства алгебры (за исключением общего масштаба длины, пропорционального У А). Можно определить скалярное произведение корней

Прибавляя к одному из корней целые кратные других корней, можно найти новые корни. Если это имеет место, то всегда только для некоторой серии последовательных целых чисел Очевидно, Если то является корнем. Такая ситуация существенна для коммутационных свойств величин

Даже при наличии условия (5.12) все еще необходимо устанавливать относительные знаки величин Е, а также принимать некоторое условие относительно знаков Но не считая этого обстоятельства, алгебра теперь полностью и инвариантно описывается ее рангом и скалярными произведениями ее корней друг на друга. В этом случае можно построить перестановочные соотношения для всех С и Е.

В обобщенной теории Янга—Миллса, связанной с простой алгеброй Ли, мы переходим к новому представлению частиц. Вместо вещественных полей здесь имеется вещественных полей, связанных с токами коммутирующих величин, и еще комплексных полей, связанных с токами поднимающего и

опускающего индексы операторов для этих коммутирующих величин. Для описания перестановочных соотношений и амплитуд трилинейных связей между векторными мезонами здесь вместо имеются величины . (Возвращаясь обратно к вещественной и мнимой частям комплексных полей, можно непосредственно получить Сии в некоторой частной форме.) Частицы, соответствующие комплексным полям, переносят значения величин , поскольку С; сохраняются, испускание векторной частицы изменяет величину С; для остающейся системы на к? действительно представляют собой возможные разности собственных значений для независимо от представления.

В следующем пункте мы рассмотрим некоторые примеры простых алгебр Ли, анализируя их методом корней.