2.3. ИТЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Этот параграф посвящен разработке исчисления для итерационных функций. Содержащиеся в нем результаты играют ключевую роль в значительной части дальнейших исследований. Отметим, что они неприменимы к ИФ с памятью. В проводимых ниже рассуждениях мы будем предполагать, что порядок является целым; относительно же структуры ИФ никаких предположений не делается. Теоремы 8.1 и 8.2, также относящиеся к итерационному исчислению, помещены по месту их применения в гл. 8. Некоторые из приводимых результатов для случая простых корней имеются в работах Zajta [2.3-1], Ehrmann [2.3-2].

2.3.1. Подготовка.

В этом параграфе мы рассматриваем нули произвольной кратности. Кратность нуля обозначим буквой

а принадлежность классу ИФ, имеющих порядок будем записывать в виде Мы исходим из предположения, что имеет порядок для всех функций с нулями одинаковой кратности. При этом допускается, что имеет разные порядки для простых и кратных нулей. В последнем случае будет оговариваться, что для некоторых значений

Пример 2.3. Пусть Тогда для простых нулей и для кратных нулей. В то же время для нулей кратности для нулей произвольной кратности (подробности приведены в гл. 7).

Предположим, что производная непрерывна в окрестности точки а. Если то по теореме 2.2

Разложив в ряд Тейлора с центром в точке а, получаем

где заключено в промежутке между Хотя зависимость от х не является непрерывной, можно представить как непрерывную функцию аргумента х следующим образом. Положим

Применив раз правило Лопиталя, получаем Следовательно,

причем непрерывная функция аргумента Таким образом, ИФ порядка всегда имеет нуль а кратности

Сравнивая (2.17) и (1.14), получаем, что где С — константа асимптотики погрешности.

Представим уравнение (2.17) в форме, более удобной для дальнейших применений. Предположим, что производная непрерывна в окрестности точки а и простой корень. Тогда а). Положим

Тогда

причем непрерывная функция аргумента Из (2.17) и (2.18) получаем

где Следовательно, функция непрерывна, если непрерывны, то не обращается в нуль. Кроме того,

Если кратность больше единицы, то функция не пропорциональна а, поэтому получить выражение вида (2.19), содержащее невозможно. Однако функция имеет только простые корни, что позволяет легко обобщить (2.19). В самом деле, пусть производная непрерывна и а имеет кратность С помощью рассуждений, аналогичных проведенным выше, доказывается существование непрерывных функций таких, что

где

Следовательно,

где Из (2.17) и (2.20) получаем

где функция непрерывна,

Соотношения (2.17), (2.19) и (2.21) играют в дальнейшем исключительно важную роль. В частности, мы будем использовать (2.21) в форме

2.3.2. Теоремы итерационного исчисления.

В доказываемых ниже теоремах мы не будем формулировать условия непрерывности производных функций характер этих условий будет ясен из доказательств. Используемые ниже обозначения были введены в

Теорема 2.4. Предположим, что для некоторой совокупности значений Тогда для этих значений имеем

Доказательство. Из (2.17) следует, что

Тогда

Положим Нетрудно видеть, что

Замечание. Соотношение (2.23) выражает связь между константой асимптотики погрешности составной ИФ и константами асимптотики погрешности составляющих ее ИФ.

Следствие. Пусть для некоторой совокупности значений Положим

— перестановка чисел

Тогда для этих значений В частности, если для то

Пример 2.4. Положим (ИФ Ньютона). Очевидно, Поэтому

Теорема 2.5. Пусть для некоторой совокупности значений Тогда для этих существует функция такая, что

Доказательство. Поскольку найдется функция для которой Ввиду имеем Следовательно, а является простым нулем функции поэтому найдется такая функция что причем

Теорему 2.5 можно переформулировать следующим образом. Если а —нуль порядка функции а при то а является простым нулем функции Пример функций имеющих первый порядок, показывает, что при теорема неверна.

Пример 2.5. Если порядок больше единицы, то ИФ имеет только простые нули. Поэтому любая ИФ, имеющая порядок для функций с простыми нулями, сохранит порядок если в ней заменить на Так, если заменить на в ИФ Ньютона, получим

причем Пусть есть ИФ Ньютона, тогда Эта ИФ, обобщающая ИФ Ньютона и имеющая второй порядок для корней любой кратности, вновь появится в гл. 7.

Теорема 2.6. Пусть для некоторой совокупности значений Тогда для этих значений существует ограниченная в окрестности точки а функция такая, что

где

Доказательство. 1. Пусть Предположим для определенности, что Ввиду (2.21)

Положим Соотношения завершают рассмотрение первого случая.

2. Пусть Тогда

Положим Соотношения

завершают рассмотрение второго случая.

3. Пусть Поскольку найдется такое целое что и дальнейшие рассуждения совпадают с предыдущим случаем. I

С точки зрения дальнейших приложений наибольший интерес представляет случай Докажем теорему, обратную к теореме 2.6.

Теорема 2.7. Пусть для некоторой совокупности значений Тогда для этих значений где

Доказательство. 1. Пусть Предположим для определенности, что Тогда

Положим Соотношение завершает рассмотрение первого случая.

2. Пусть Тогда

Положим Соотношения

завершают рассмотрение этого случая.

3. Случай рассматривается аналогично предыдущему.

Только что доказанная «теорема сравнения» позволяет установить порядок ИФ, отличающийся от ИФ известного порядка членами порядка Следующая теорема позволяет вычислить константу асимптотики погрешности для ИФ порядка если известна константа асимптотики погрешности какой-либо другой ИФ этого же порядка. Напомним, что константа асимптотики погрешности С определяется соотношением

Теорема 2.8. Пусть для некоторой совокупности значений Положим

Пусть константы асимптотики погрешности для Тогда для этих значений справедливо

Доказательство. Применив правило Лопиталя раз, получим

Пример 2.6. Пусть

Тогда для нулей кратности . В п. 7.4.1 будет показано, что

где При помощи этого соотношения нетрудно установить равенства

что согласуется с теоремой 2.8. Положим

Поскольку равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, для всех

Более полезный по сравнению с теоремой 2.8 результат содержит

Теорема 2.9. Пусть для некоторой совокупности значений Положим

Пусть константы асимптотики погрешности функций Тогда для этих значений

Доказательство. Нетрудно показать, что

Из предыдущей теоремы следует, что

откуда получаем требуемое утверждение. I

Пример 2.7. Пусть Тогда ИФ, задаваемые соотношениями

имеют третий порядок, причем

Поскольку

имеем

Следующая теорема тесно связана с теоремой 2.6. Ее утверждение формулируется в виде, удобном для использования в гл. 5, 6.

Теорема 2.10. Пусть Тогда любая ИФ порядка представима в виде

где функция, ограниченная в окрестности точки а.

Доказательство. Из (2.19) получаем

Поэтому

Полагая в получаем утверждение теоремы.

Отметим, что теорема 2.10 несправедлива при Например,

имеет порядок при

Следующие две теоремы раскрывают другие свойства ИФ порядка

Теорема 2.11. Пусть для некоторой совокупности значений Тогда для этих значений найдется функция такая, что причем

Доказательство. Предположим, что нуль кратности . В п. 2.2.1 было показано, что в этом случае существует непрерывная функция для которой Поэтому

Поскольку функция , не обращается в нуль в некоторой окрестности точки а. Следовательно,

Положим Соотношение

завершает доказательство.

Справедлива и обратная теорема.

Теорема 2.12. Пусть для некоторой совокупности значений выполняется причем Тогда для этих значений

Доказательство. Очевидно, где то же, что и в предыдущей теореме. По предположению теоремы имеем

Определим соотношением тогда причем

Из теорем 2.11 и 2.12 следует, что в том и только том случае, если выполняется соотношение

Пример 2.8. Пусть

Это — ИФ Хэлли, подробно изучаемая в § 5.2. Справедливы соотношения

Таким образом,

Следовательно, ИФ Хэлли имеет третий порядок при Теорема 2.13. Пусть Тогда

Доказательство. Положим

Очевидно, По теореме Следовательно,

Поскольку справедливо представление Таким образом,

Другое представление для получим из следующих соображений. Определим соотношениями тогда

Из (2.29) и (2.30) получаем

Вследствие (2.28)

Полагая в получаем требуемое соотношение.

Предыдущую теорему обобщает

Теорема 2.14. Пусть Тогда

Доказательство. Положим Из теоремы 2.11 следует, что для Поскольку при справедливость теоремы для этих значений установлена.

Пусть теперь Заметим, что

Налагая соответствующие ограничения на мы можем добиться того, что у и V будет требуемое количество непрерывных в окрестности точки а производных. Тогда

где через обозначены биномиальные коэффициенты. Следовательно,

Нетрудно показать, что

откуда и следует утверждение теоремы.