А.2. ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛЯЦИИ И ЕЕ РЕШЕНИЕ

А.2.1. Постановка задачи.

Задача интерполяции состоит в построении многочлена удовлетворяющего условиям

Подчеркнем, что значения всех производных многочлена от нулевой до включительно должны совпадать с значениями соответствующих производных функции в узлах

Положим

Как известно, существует единственный многочлен степени удовлетворяющий условиям Для этого многочлена введем сокращенное обозначение

где Если Для всех то соответствующий интерполяционный многочлен будем обозначать через

Предположим, что у функции производная непрерывна, а производная не обращается в нуль на интервале Тогда функция имеет обратную, причем производная обратной функции У непрерывна на К. Задача интерполяции формулируется следующим образом: построить многочлен удовлетворяющий условиям

Как известно, существует единственный многочлен степени удовлетворяющий условиям обозначим этот многочлен через

Если для всех то многочлен будем обозначать через Всюду в настоящем приложении мы будем параллельно формулировать результаты, относящиеся к интерполяции

Широко известны два решения задачи интерполяции задаваемые интерполяционными формулами Ньютона и Лагранжа — Эрмита. В дальнейшем используем термины «интерполяционный многочлен» и «интерполяционная формула» как эквивалентные; иногда вместо «интерполяционная формула» будем писать просто «формула». Заметим, что решение задачи интерполяции единственно, поэтому упоминавшиеся формулы представляют собой различные способы записи одного и того же многочлена. Для наших построений формула Ньютона обладает рядом важных преимуществ:

a) при замене одного узла интерполяции изменяется только одно слагаемое в записи интерполяционного многочлена;

b) разделенные разности, участвующие в записи интерполяционного многочлена Ньютона, имеют ясный геометрический смысл: они аппроксимируют значения производных;

c) для нахождения остаточного члена достаточно информации, полученной в ходе вычислений. Отметим, что каждому представлению интерполяционного многочлена соответствует формула определенного вида, выражающая погрешность интерполяции (эти формулы приведены в п. А.2.5).

d) ИФ, полученные на основе формулы Ньютона, имеют более простой вид (см. 10.2.1).

А.2.2. Разделенные разности.

Представление интерполяционного многочлена в форме Ньютона использует разделенные разности, к рассмотрению которых мы переходим. Разделенную разность с кратными узлами порядка будем обозначать через обозначает кратность узла Если то аргумент опускается; в частности

Имеется несколько методов оценки разделенных разностей. Ес-ли существует производная

В частности, Если разделенная разность содержит хотя бы два различных узла, то поступаем следующим образом. Пусть отличны от нуля. Тогда справедливо соотношение

Разложение по формуле продолжаем до тех пор, пока все за исключением одного, не обратятся в нуль. После этого воспользуемся формулой

Пример А.1.

Связь между разделенной разностью с кратными узлами и разделенной разностью с простыми узлами выражается

соотношением

Пример A.2.

A.2.3. Интерполяционная формула Ньютона.

Запись интерполяционного многочлена в форме Ньютона использует разделенные разности. Этот многочлен имеет вид

где

Если то соответствующая разделенная разность в считается равной Представление можно записать в виде

Заметим, что не зависят от В этом состоит одно из главных преимуществ формулы Ньютона.

При интерполяции обратной функции имеем

где

А.2.4. Интерполяционная формула Лагранжа — Эрмита.

Рассмотрим интерполяционный многочлен Лагранжа — Эрмита,

представляющий собой линейную комбинацию величин где Этот многочлен имеет вид

причем члены

не зависят от функции и ее производных. Замена любого узла приводит к изменению всех слагаемых правой части Явные формулы для при некоторых упрощающих предположениях приведены в п. А.3.2.

При интерполяции обратной функции имеем

A.2.5. Погрешность интерполяции.

Приведем два выражения для погрешности интерполяции. Первое имеет вид

где — некоторая точка интервала, заданного точками второе выражение —

При интерполяции функции имеем соответственно

где - некоторая точка интервала, заданного точками