Главная > Итерационные методы решения уравнений
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

А.2. ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛЯЦИИ И ЕЕ РЕШЕНИЕ

А.2.1. Постановка задачи.

Задача интерполяции состоит в построении многочлена удовлетворяющего условиям

Подчеркнем, что значения всех производных многочлена от нулевой до включительно должны совпадать с значениями соответствующих производных функции в узлах

Положим

Как известно, существует единственный многочлен степени удовлетворяющий условиям Для этого многочлена введем сокращенное обозначение

где Если Для всех то соответствующий интерполяционный многочлен будем обозначать через

Предположим, что у функции производная непрерывна, а производная не обращается в нуль на интервале Тогда функция имеет обратную, причем производная обратной функции У непрерывна на К. Задача интерполяции формулируется следующим образом: построить многочлен удовлетворяющий условиям

Как известно, существует единственный многочлен степени удовлетворяющий условиям обозначим этот многочлен через

Если для всех то многочлен будем обозначать через Всюду в настоящем приложении мы будем параллельно формулировать результаты, относящиеся к интерполяции

Широко известны два решения задачи интерполяции задаваемые интерполяционными формулами Ньютона и Лагранжа — Эрмита. В дальнейшем используем термины «интерполяционный многочлен» и «интерполяционная формула» как эквивалентные; иногда вместо «интерполяционная формула» будем писать просто «формула». Заметим, что решение задачи интерполяции единственно, поэтому упоминавшиеся формулы представляют собой различные способы записи одного и того же многочлена. Для наших построений формула Ньютона обладает рядом важных преимуществ:

a) при замене одного узла интерполяции изменяется только одно слагаемое в записи интерполяционного многочлена;

b) разделенные разности, участвующие в записи интерполяционного многочлена Ньютона, имеют ясный геометрический смысл: они аппроксимируют значения производных;

c) для нахождения остаточного члена достаточно информации, полученной в ходе вычислений. Отметим, что каждому представлению интерполяционного многочлена соответствует формула определенного вида, выражающая погрешность интерполяции (эти формулы приведены в п. А.2.5).

d) ИФ, полученные на основе формулы Ньютона, имеют более простой вид (см. 10.2.1).

А.2.2. Разделенные разности.

Представление интерполяционного многочлена в форме Ньютона использует разделенные разности, к рассмотрению которых мы переходим. Разделенную разность с кратными узлами порядка будем обозначать через обозначает кратность узла Если то аргумент опускается; в частности

Имеется несколько методов оценки разделенных разностей. Ес-ли существует производная

В частности, Если разделенная разность содержит хотя бы два различных узла, то поступаем следующим образом. Пусть отличны от нуля. Тогда справедливо соотношение

Разложение по формуле продолжаем до тех пор, пока все за исключением одного, не обратятся в нуль. После этого воспользуемся формулой

Пример А.1.

Связь между разделенной разностью с кратными узлами и разделенной разностью с простыми узлами выражается

соотношением

Пример A.2.

A.2.3. Интерполяционная формула Ньютона.

Запись интерполяционного многочлена в форме Ньютона использует разделенные разности. Этот многочлен имеет вид

где

Если то соответствующая разделенная разность в считается равной Представление можно записать в виде

Заметим, что не зависят от В этом состоит одно из главных преимуществ формулы Ньютона.

При интерполяции обратной функции имеем

где

А.2.4. Интерполяционная формула Лагранжа — Эрмита.

Рассмотрим интерполяционный многочлен Лагранжа — Эрмита,

представляющий собой линейную комбинацию величин где Этот многочлен имеет вид

причем члены

не зависят от функции и ее производных. Замена любого узла приводит к изменению всех слагаемых правой части Явные формулы для при некоторых упрощающих предположениях приведены в п. А.3.2.

При интерполяции обратной функции имеем

A.2.5. Погрешность интерполяции.

Приведем два выражения для погрешности интерполяции. Первое имеет вид

где — некоторая точка интервала, заданного точками второе выражение —

При интерполяции функции имеем соответственно

где - некоторая точка интервала, заданного точками

1
Оглавление
email@scask.ru