ГЛАВА 4. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ

В этой главе изучаются ИФ, порождаемые прямой или обратной интерполяцией. ИФ такого рода будем называть интерполяционными. Наиболее важные результаты, относящиеся к сходимости и порядку интерполяционных ИФ, содержатся в теоремах 4.1 и 4.3. В теореме 4.2 дается существенное обобщение условий Фурье о монотонной сходимости итерационной последовательности.

4.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

4.1.1. Интерполяция.

Читателю, желающему более подробно ознакомиться с теорией интерполяции, следует обратиться к приложению А. Здесь приведем лишь те сведения, которые используются в рассуждениях этой главы.

Пусть заданная, функция. Существует единственный многочлен степени для которого

Положим

где через у обозначен вектор с компонентами Многочлен у называется интерполяционным многочленом для функции

Будем говорить, что интервал задан точками если левая граница этого интервала совпадает с самой левой из точек а правая граница — с самой правой из этих точек. Предположим, что производная непрерывна на интервале, заданном точками Тогда

где лежит в интервале, заданном точками

Предположим теперь, что производная непрерывна, а производная не обращается в нуль на интервале Тогда функция имеет обратную, причем производная обратной функции непрерывна на Существует единственный многочлен Для которого

Аналогично (4.2) введем обозначения

Тогда

где лежит в интервале, заданном точками

4.1.2. Связь между интерполяцией и вычислением корней.

Пусть набор из приближений к нулю а функции В качестве очередного приближения целесообразно выбрать нуль интерполяционного многочлена с узлами интерполяции Затем эту процедуру можно повторить применительно к узлам д. Первый недостаток данного итерационного метода состоит в том, что на каждой итерации приходится решать алгебраическое уравнение. Второй недостаток состоит в том, что интерполяционный многочлен, как правило, имеет несколько нулей, часть из которых могут оказаться комплексными. Поэтому необходимо сформулировать правило выбора точки из совокупности нулей интерполяционного многочлена. Это правило должно задавать однозначное соответствие между набором и точкой т. е. быть однозначной функцией, отображающей Обозначим эту функцию через

Чтобы избежать трудностей, связанных с решением алгебраического уравнения, можно интерполировать обратную функцию в узлах а затем вычислять значение интерполяционного многочлена в нуле. Эта последовательность действий устанавливает однозначное соответствие между Обозначим данное соответствие через

Каждый из двух указанных методов предполагает задание начальных приближений Один из способов построения начальных приближений описан в п. 6.3.2.

ИФ, генерируемые на основе прямой или обратной интерполяции, называются интерполяционными Интерполяция — не единственный способ построения ниже будут рассмотрены и другие способы. Преимущество данного способа заключается в его универсальности, удобстве использования при изучении свойств ИФ, в частности порядка ИФ. Многие широко известные ИФ представляют собой частные случаи интерполяционных ИФ. Кроме того, этот метод служит основой для естественной классификации итерационных функций.