8.4. МНОГОТОЧЕЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ, ПОРОЖДАЕМЫЕ АППРОКСИМАЦИЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ

При обсуждении основной теоремы об одноточечных ИФ (теорема 5.3) отмечалось, что в одноточечных ИФ производные более высокого порядка невозможно аппроксимировать производными более низкого порядка. В этом параграфе построение многоточечных ИФ проводится на основе именно такой аппроксимации. В частности, используется аппроксимация высшей производной в некоторых одноточечных ИФ. Поскольку эта аппроксимация основывается на новой информации, вычисленной в специально выбранных точках, полученные в результате ИФ имеют более высокий порядок по сравнению с одноточечными ИФ с памятью, использующими то же количество производных.

Напомним, что в соответствии с теоремой если Положим ввиду вышесказанного если Последнее равенство эквивалентно соотношению Пусть

где некоторая константа. Разложив в ряд Тейлора, получим

Следовательно, для произвольного ненулевого

имеет второй порядок, причем для вычисления требуются только два значения и ни одного значения производной Если проводить пошаговое уточнение на основе вычисленной на предыдущем шаге информации, то порядок увеличивается без дополнительного привлечения новой информации. Получаемая в результате многоточечная ИФ с памятью будет рассмотрена в § 8.6.

ИФ (8.51) имеет тот недостаток, что приходится делить друг на друга два близких к нулю числа и поэтому требуется более высокая точность вычислений. Однако уместно вспомнить, что этот недостаток присущ и ИФ метода секущих. Численные эксперименты показывают, что данный недостаток не затрудняет практическое использование этих ИФ.

Оценим погрешность приближения Разложив в ряд по степеням и вычтя соответствующий степенной ряд для а, получим

Следовательно,

Заметим, что если удовлетворяет неравенству

а величина достаточно мала, то погрешность (8.52) меньше погрешности ИФ Ньютона. Из этих соображений выбираем Тогда

Эта ИФ требует вычисления значений в точках а также значение производной в точке х. По причинам, которые будут разъяснены в § 8.5, назовем эту ИФ итерационной функцией метода Ньютона — метода секущих.

Проведенные рассуждения свидетельствуют о целесообразности введения параметра в ИФ метода секущих. Положим

Нетрудно показать, что

Ясно, что выбор должен удовлетворять условию

При совпадает с (8.55). В § 8.6 будет рассмотрена ИФ, в которой на каждой итерации параметр уточняется по информации, полученной на предыдущей итерации.

Рассмотренные выше ИФ получены из ИФ Ньютона в результате различных аппроксимаций первой производной. Перейдем к изучению ИФ, получаемых различными аппроксимациями второй производной в некоторых одноточечных ИФ третьего порядка.

Заметим, что для любого ненулевого справедливо соотношение

Подстановка левой части (8.59) в ИФ третьего порядка приводит к ИФ

Эта ИФ при любом имеет третий порядок; мы вновь вернемся к ней в п. 9.2.1.

Положив в (8.59), получим

Подстановка левой части (8.61) в ИФ Хэлли — приводит к ИФ

совпадающей с (8.55).

Еще одно семейство ИФ можно вывести на основе соотношения

Подстановка левой части равенства (8.63) вместо в приводит к однопараметрическому семейству ИФ третьего порядка

При принимает вид

а при

Некоторые признаки (см. п. 5.2.1) позволяют предположить, что ИФ Хэлли «лучше», чем Подстановка левой части равенства (8.63) вместо в ИФ Хэлли приводит к ИФ

Отметим, что константа асимптотики погрешности в (8.64) отличается от константы в (8.67) только множителем «2» при При принимает вид

а при

что совпадает с (8.12). С последней ИФ мы вновь встретимся в п. 9.3.1.

Рассмотрим еще один, последний способ аппроксимации Заметим, что при любом (3 справедливо равенство

Подставив эту аппроксимацию получим ИФ

Если удовлетворяет уравнению то В этом случае (8.71) принимает вид

что совпадает с (8.66).

Приведенные примеры дают достаточно полное представленение о методах получения различных многоточечных ИФ из одноточечных посредством аппроксимации производных.