1.2.4. Понятия, относящиеся к порядку.

Для достижения поставленных целей нам потребуются мера информации, используемой ИФ, и эффективности ИФ. В качестве измерителя информации естественно принять объем информационного запроса d (informational usage), выражаемый количеством элементов новой информации, используемых в каждой итерации. Поскольку информация используется в форме значений и ее производных, объем информационного запроса равен количеству значений производных, вычисляемых в ходе итерации (считается, что сама функция является производной нулевого порядка). Для обозначения единицы объема информационного запроса в работе Ostrowski [1.2-8, р. 19] предложен термин «горнер». Принадлежность классу ИФ порядка с объемом информационного запроса будем обозначать посредством

Меру эффективности определим следующим образом: эффективность использования информации равна частному от деления порядка на объем информационного запроса, т. е.

Другое определение эффективности выглядит так:

В работе Ostrowski [1.2-9, р. 20] величина (1.20) названа индексом эффективности, обсуждение (1.20) проводится в приложении С. Мы остановились на определении (1.19), поскольку оно позволяет придать простую форму ряду важных результатов. Еще одна мера эффективности, так называемая вычислительная эффективность, позволяющая учитывать «стоимость» вычисления различных производных, обсуждается в приложении С.

Пример 1.3. Для ИФ Ньютона

Для ИФ метода секущих

Одноточечные ИФ и одноточечные ИФ с памятью вычисляют только одно новое значение каждой производной. Если вычисли

ются первые производных то объем информационного запроса равен , а

Предположим, что одноточечная ИФ использует старую информацию в точках. Положим

Таким образом, равно произведению числа элементов новой информации на общее число точек, в которых используется информация. Величины являются характеристиками определенных семейств ИФ. Там, где невозможно двоякое толкование, эти буквы будут использоваться и для иных целей.

В § 5.4 будет доказано, что в случае одноточечных ИФ. Мы заранее приводим этот результат, чтобы обосновать вводимое понятие оптимальности ИФ. Оптимальными назовем такие одноточечные ИФ, для которых Очевидно, что для оптимальных одноточечных Базовой последовательностью ИФ назовем бесконечную последовательность член которой имеет порядок Оптимальной базовой последовательностью называется базовая последовательность, все члены которой оптимальны. В § 5.1 исследуются свойства конкретной базовой последовательности, широко используемой на протяжении всей книги.

Иногда последовательность и отдельные ее члены будут обозначаться одним и тем же символом; при этом смысл обозначения будет ясен из контекста.