7.5. ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ПРЯМОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИЕЙ

В данном параграфе теорема 7.3 обобщается на случай кратных корней. Это потребует более жестких по сравнению со случаем простых корней ограничений.

7.5.1. Уравнение для погрешности.

Пусть набор из приближений к нулю а кратности многочлен, значения первых производных которого совпадают в узлах со значениями соответствующих производных функции Определим новое приближение к а из уравнения

повторим эту процедуру применительно к точкам и т. д. При этом предполагается, что мы умеем находить вещественные корни уравнения (7.35), а если имеет несколько вещественных корней, то выбирается среди них по некоторому критерию. Справедливо представление

где точка расположена в интервале, заданном точкам» Положим тогда

где Поскольку кратность нуля а равна имеем

где расположено между Полагая получаем следующее уравнение для погрешности в случае кратных корней:

В дальнейших рассуждениях будем исходить из предположения

Прежде чем перейти к анализу уравнения (7.36), исследуем корни характеристического уравнения.

7.5.2. О корнях характеристического уравнения.

В § 3.3 свойства корней уравнения

изучались в предположении, что при выполняется неравенство

Порядок рассматриваемых в § зависит от величин корней уравнения

которое является частным случаем уравнения (7.38) при

Ввиду требования условие (7.39) выполнено, и теорема 3.2 превращается в следующее утверждение

Теорема 7.4. Уравнение

имеет при вещественный корень При это уравнение имеет единственный положительный корень который является простым и удовлетворяет неравенствам

Кроме того,

где основание натуральных логарифмов. Следовательно, Все остальные корни также простые и по модулю они меньше единицы.

В табл. приведены значения а соответственно для Табл. 7.5 идентична табл. 3.1 и приводится здесь для удобства сравнений. Клетки таблиц, для которых не выполняется условие оставлены свободными.

Таблица 7.5. Значения

Таблица 7.6. Значения

Таблица 7.7. Значения

Таблица 7.8. Значения

7.5.3. Порядок.

Продолжим исследование уравнения для погрешности

Дальнейшие рассуждения проводятся в предположении

отсюда, в частности, следует, что

Перепишем (7.42) в виде

где

Из (7.43) имеем Предположим, что при всех и положим

Из (7.44) следует, что

Уравнение (7.47) в точности совпадает с уравнением (3.34), если заменить на на 5. Заметим, что

в то время как Вместо (3.43) в данном случае имеем

Рассуждениями, аналогичными использованным при доказательстве теоремы 3.3, можно показать, что

Перечисленные результаты объединяет

Теорема 7.5. Пусть — нуль кратности ; пусть, далее, производная непрерывна, произведение не обращается в нуль на и для любого существует такое, что где интерполяционный многочлен, первые производных которого совпадают в узлах с соответствующими производными функции Определим соотношением

и предположим дополнительно, что для всех

Тогда

где единственный положительный корень уравнения

Отметим, что при соотношение (7.48) совпадает с (4.30). В случае было доказано, что если погрешности начальных приближений достаточно малы, то в случае же приходится дополнительно требовать, чтобы откуда имеем

7.5.4. Обсуждение и примеры.

Результаты проведенных в п. 7.5.3 исследований выглядят вполне убедительными. В формулировке теоремы 7.5 фигурирует минимальное количество наиболее существенных параметров: порядок, произведение количества элементов новой информации на количество точек, информация в которых используется, и кратность нуля. Влияние кратности нуля проявляется в уменьшении коэффициента присутствующего в уравнении для порядка, до величины При фиксированном порядок зависит исключительно от

отношения Например, при метода секущих) и получаются ИФ одного и того же порядка. При порядок ограничен сверху величиной

Пример 7.2. В п. 5.3.2 для случая простых корней была рассмотрена ИФ с параметрами Было показано, что если то Если то

Пример 7.3. Пусть Соответствующая ИФ в случае простых корней рассматривается в При

при