6.3. ОБСУЖДЕНИЕ ОДНОТОЧЕЧНЫХ ИТЕРАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ С ПАМЯТЬЮ

6.3.1. Гипотеза.

В § 6.1 и 6.2 построена теория интерполяционных ИФ и ИФ, порождаемых аппроксимацией производной. Интерполяционные ИФ используют значения производных т. е. вычисляют 5 новых элементов информации на каждой итерации. ИФ, порождаемые аппроксимацией производной, получаются из оптимальных одноточечных ИФ путем приближения производной по информации о первых производных в точках. В этом случае на каждой итерации вычисляется элементов новой информации. Для интерполяционных ИФ параметр представляет собой произведение количества вычисляемых на итерации элементов новой информации на числоточек, информация в которых используется для построения очередного приближения. Для ИФ, порождаемых аппроксимацией производных, аналогичную роль играет параметр .

Отметим сходство результатов, содержащихся в теоремах 4.1, 4.3, 6.1-6.4: в формулировках фигурируют исключительно параметры либо зависит только от либо от В случае обратной интерполяции константа асимптотики погрешности зависит от а в случае прямой интерполяции — от Теоремы 6.2 и 6.4 показывают, что асимптотические свойства ИФ, порождаемых аппроксимацией производной, не зависят от индивидуальных особенностей оптимальных одноточечных ИФ, в которых аппроксимируется производная.

Значения для различных или можно определить по табл. 3.1.

После изучения ИФ, порождаемых аппроксимацией высшей производной в оптимальной одноточечной ИФ, встает вопрос о целесообразности аппроксимации двух старших производных. Однако подсчет порядка таких ИФ показывает, что этот путь не приводит к улучшению результатов.

Выше было доказано, что использование ранее вычисленной информации в интерполяционных ИФ и ИФ, порождаемых аппроксимацией производной, повышает порядок менее чем на единицу. Мы высказываем предположение, что этот результат не зависит от способа использования ранее вычисленной информации.

Гипотеза. Пусть

— произвольная одноточечная ИФ с памятью, принадлежащая классу (символ «;» в списке аргументов означает, что

новая информация вычисляется только в точке Тогда .

В частности, отсюда следует, что невозможно построить одноточечную ИФ с памятью, имеющую второй порядок и не использующую информацию о производных. Решающее значение здесь имеет то обстоятельство, что новая информация вычисляется только в одной точке.. Так, в § 8.6 приводятся ИФ, не использующие информацию о производных и имеющие порядок выше второго; однако эти ИФ принадлежат к классу многоточечных ИФ с памятью.

Подчеркнем, что данная гипотеза не относится к случаю, когда из генерируемой ИФ последовательности извлекается дополнительная информация (см. приложение где рассматриваются вопросы ускорения сходимости).

6.3.2. Некоторые практические соображения.

Выражения для одноточечных ИФ с памятью обычно содержат дроби, числители и знаменатели которых по мере сходимости итерационной последовательности к а стремятся к нулю. Так, рассмотрим ИФ

из примера 6.9. Теория утверждает, что однако при практическом вычислении приходится делить друг на друга близкие к нулю числа, что неизбежно приводит к вычислительным трудностям. Заметим, что умножается в (6.29) на выражение быстро стремящееся к нулю, а последний член в выражении (6.29) для можно расценивать как «корректирующую добавку» к Поэтому нет необходимости вычислять 7? с очень высокой точностью. Возможно, впрочем, что по крайней мере часть вычислений целесообразно проводить с повышенной точностью; в целом эта проблематика пока изучена слабо.

Для применения ИФ типа необходимо иметь начальных приближений. Для получения этих приближений можно использовать требующую только два начальных приближения, а затем последовательно применить

6.3.3. Итерационные функции, использующие не всю ранее вычисленную информацию.

Рассмотренные выше ИФ используют всю ранее вычисленную информацию в точках. В принципе возможно построение ИФ, для которых нужна лишь часть

ранее вычисленной в точках информации. Это может привести к более простым ИФ, имеющим в то же время более низкий порядок. Нетрудно показать, что ИФ

основанная на простейшей оценке производной вида имеет характеристическое уравнение с корнями Следовательно, порядок равен 2.41, в то время как порядок порождаемой аппроксимацией по значениям равен 2.73. Если вычисление значений трудоемко, то целесообразно использовать чуть более сложную

6.3.4. Дополнительный член в уравнении для погрешности.

В § 5.5 было выведено разностное уравнение, позволяющее рекуррентно вычислять коэффициенты ряда для погрешности Попытки обобщений на случай ИФ с памятью нами не предпринимались. Ниже приводятся выражения для первых двух членов рядов для погрешностей некоторых ИФ с памятью. Главные члены этих рядов определяются теоремой 6.1.