ГЛАВА 3. МАТЕМАТИКА РАЗНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЙ
В этой главе формируется математический инструментарий, необходимый для подробного изучения вопросов сходимости и порядка одноточечных ИФ и одноточечных ИФ с памятью. Центральное место принадлежит двум теоремам из § 3.4. Предполагается, что читатель знаком с основами теории разностных уравнений.. В противном случае необходимые сведения можно почерпнуть в работах Hildebrand [3.0-1, Chap. 3], Jordan [3.0-2, Chap. 11], Milne-Thomson [3.0-3], Norlund [3.0-4].
3.1. О СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Лемма 3.1. Пусть 
неотрицательные целые числа, 
последовательность неотрицательных чисел, члены которой удовлетворяют условию
причем
Тогда из условия 
следует, что 
Доказательство. Положим
Пусть 
наименьший номер, для которого 
Докажем по индукции, что
Прежде всего заметим, что
Предположим, что (3.3) выполняется для 
Из предположения индукции и (3.1) следует,
что 
Но тогда
и индукция завершена. Из (3.3) следует, что 
Лемма 3.2. Пусть 
- положительное целое, 
неотрицательные целые числа, 
последовательность неотрицательных чисел, члены которой удовлетворяют условию
причем
Тогда из условия 
следует, что Доказательство. Положим
Докажем по индукции, что
Прежде всего заметим, что
Предположим, что (3.6) выполняется для 
Из предположения индукции и (3.4) следует, что 
Но тогда
и индукция завершена. Из (3.6) следует, что I
