9.2. МНОГОТОЧЕЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ПЕРВОГО ТИПА

Рассмотрим ИФ семейства (9.1) третьего и четвертого порядков. Для удобства введем упрощенные обозначения

где

9.2.1. ИФ третьего порядка.

Напомним, что а формула означает принадлежность классу ИФ порядка Сначала рассмотрим случай тогда

Вместо вычисления производных в точке а поступим следующим образом: разложим в ряд по степеням и и применим теорему 5.2. Нетрудно видеть, что

Следовательно,

Поскольку имеем

Отсюда видно, что тогда и только тогда, когда

В этом случае

Таким образом, соотношение (9.5) задает однопараметрическое семейство ИФ третьего порядка, если

Прежде чем продолжить рассуждения, сформулируем правила выбора свободных параметров. В ходе каждой итерации значения вычисляются в точках Если то в большинстве интересующих нас случаев точка расположена дальше от а, чем х. В то же время было бы желательно производить второе вычисление в точке расположенной к ближе, чем х. Поэтому ограничимся отрицательными Точка называется ньютоновым отображением точки это название обусловлено тем, что соответствует одной итерации метода Ньютона из начальной точки х. Представляется разумным выбор точки в достаточной близости от

ньютонова отображения точки х. Поэтому условимся выбирать из интервала

Подчеркнем, что ИФ (9.5) имеет третий порядок при любых значениях удовлетворяющих системе (9.6). Ограничение (9.8) подсказано вычислительными соображениями.

Выбор можно также подчинить условию, в соответствии с которым погрешность ИФ на некоторых наборах функций должна быть минимальной. Этот вопрос рассматривается более подробно в § 9.4.

Общее решение системы (9.6) имеет вид

Особый интерес представляют два частных решения. Во-первых, случай тогда

Во-вторых, случай тогда

Заметим, что (9.11) совпадает с (8.42) при

9.2.2. ИФ четвертого порядка.

Рассмотрим теперь семейство (9.4) при Разложив

в ряды по степеням после стандартных выкладок получим следующее представление для

где . Содержательные интерпретации а будут даны ниже. Поскольку

имеем

Отсюда видно, что тогда и только тогда, когда

В этом случае

Нетрудно видеть, что если хотя бы один из параметров или а равен нулю, то соответствующий набор не может быть решением системы (9.1). В самом деле, если то мы получаем уже рассмотренную выше систему третьего порядка. Если то и точка второго вычисления совпадает с точкой первого вычисления. То, что случаи и невозможны, ясно из соотношений

Из этих соотношений видно, что параметры и в несколько меньшей степени а определяют точку вычисления значения Нетрудно показать, что если и

Поскольку при точка расположена очень близко к

С учетом того, что определяет точку вычисления значения точку вычисления значения целесообразно выписать общее решение систем (9.13) и

именно через эти параметры. Если то общее решение имеет вид

Из второго и третьего уравнений системы (9.13) видно, что если то поэтому (9.16) задает общее решение для всех

Если то с помощью (9.13) и (9.16) можно выразить константу асимптотики погрешности (9.14) только через

Если же , то

Наибольший интерес представляют значения параметров, приводящие к упрощению выражений для и константы асимптотики погрешности. Ограничим возможности выбора значений параметров интервалами

Начнем со случая Тогда вычисляется в точке, являющейся ньютоновым отображением точки х, причем С учетом (9.17) это означает, что погрешность зависит только от производных выше второго порядка. Выберем в качестве свободного параметра; тогда Особый интерес представляют три значения Во-первых, тогда

и мы получаем в точности при Сделанные замечания позволяют по-новому интерпретировать ИФ (8.42):

она вычисляет в точках Во-вторых, тогда

В-третьих, в этом случае

Из (9.17) видно, что если то Мы не оценивали константу асимптотики погрешности этой ИФ. Данная ИФ интересна тем, что она вычисляет только четыре элемента информации и имеет пятый порядок; следовательно,

Обсудим случай Если при этом то мы приходим к ситуации, уже рассмотренной выше. Пусть тогда «

Особый интерес представляет случай, когда тогда

Эта ИФ может быть получена из ИФ третьего порядка (9.10) следующим образом. Обозначим через тогда

Рассмотрение случаев или не имеет смысла, так как соответствующие наборы не могут быть решениями системы (9.13). Случаи рассмотрены выше. Если то удовлетворяет уравнению Его единственный отрицательный корень

равен примерно —0.75. В этом случае

Рассмотренные в данном параграфе ИФ представлены в табл. 9.1.

Таблица 9.1. Некоторые ИФ вида