ГЛАВА 10. ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ, НЕ ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ЗНАЧЕНИЙ ПРОИЗВОДНЫХ

В этой главе собран материал об ИФ, не использующих значений производных.

10.1. ВВЕДЕНИЕ

С большей частью излагаемого в этой главе материала мы уже встречались ранее, поэтому ряд деталей опущен. Все рассматриваемые здесь ИФ имеют память. За исключением двух многоточечных ИФ с памятью из § 10.3, все ИФ вычисляют на каждой итерации одно новое и используют повторно старых значений функции .

ИФ, не использующие значений производных, интересуют нас по многим причинам. Вычисление производных может оказаться чересчур дорогостоящим или просто невозможным. А при использовании таких для нахождения, например, собственного значения матрицы достаточно только значений определителя — его производные не нужны. При поиске нулей производной будут вычисляться только значения самой производной и не понадобится вычислять производные более высокого порядка. Как отмечалось в гл. 7, при подозрении на кратные корни вместо корней функции целесообразно искать корни функции Эта замена в случае ИФ рассматриваемого вида не приводит к вычислению производных выше первого порядка.

Отметим, что нередко сама функция и ее производная состоят из одних и тех же компонент. Например, если то и вычисление потребует лишь незначительных дополнительных затрат.

Общий недостаток ИФ рассматриваемого типа состоит в том, что все они содержат члены, числители и знаменатели которых близки к 0 при Этому можно дать следующее объяснение: ИФ без памяти, имеющие порядок выше первого, обязательно используют значения производных; поэтому в ИФ с памятью, не использующих явно значений производных, формируется явная или неявная оценка этих значений. Вычисление компонент упомянутых членов целесообразно проводить с повышенной точностью.

Значительный вклад в проблематику этой главы внес Островский (Ostrowski [10.1-1, Chap! 3.13])«