ГЛАВА 7. КРАТНЫЕ КОРНИ

В § 7.2 мы покажем, что для кратных корней имеют линейный порядок при всех . В § 7.3 изучается оптимальная базовая последовательность порядок элементов которой не зависит от кратности. В § 7.5 полученные ранее результаты об ИФ, порождаемых прямой интерполяцией, распространяются на случай кратных корней. Теорема 7.6 содержит необходимые и достаточные условия того, чтобы произвольная ИФ имела второй порядок для корней произвольной кратности. Наконец, в § 7.8 рассмотрены ИФ неизмеримого порядка.

7.1. ВВЕДЕНИЕ

Понятия, характеризующие зависимость порядка от кратности, были приведены в п. 1.2.3.

В дальнейшем изложении особая роль отводится трем функциям:

Заметим, что и имеет всегда только простые нули, имеют простые нули в том случае, когда имеет нуль кратности Если предполагается использование или то кратность должна быть известна a priori. Допустим, что в произвольной ИФ функция и ее производные заменены на или и соответствующие производные этих функций. К преобразованным таким образом ИФ применимы все результаты, справедливые в случае простых нулей. Так, если в ИФ Ньютона заменить на и, получим ИФ вида имеющую второй порядок для нулей любой кратности,

Хорошо известно, что ИФ Ньютона имеет линейный порядок для кратных нулей. В работе Е. Schroder [7.1-1, р. 324]

указывается, что ИФ вида

имеет второй порядок для нулей кратности этот факт часто переоткрывается. В § 7.2 мы докажем, что все имеют линейный порядок для кратных нулей. В § 7.3 будет построена оптимальная базовая последовательность, первым членом которой является