7.8. ИТЕРАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ НЕИЗМЕРИМОГО ПОРЯДКА

Лемма 7.2. Предположим, что производная непрерывна в окрестности корня а кратности Положим

Тогда

Доказательство. Положим

Тогда Пусть Очевидно, , причем

Из (7.58) и (7.59) получаем

Лемма 7.3. Предположим, что функции удовлетворяют условиям леммы 7.2. Тогда

Доказательство. Для упрощения рассуждений предположим, что положительны, хотя лемма справедлива и без этого дополнительного предположения. Тогда для а выполняется равенство

отсюда

Соотношения завершают доказательство.

Лемма 7.4. Пусть функции удовлетворяют условиям леммы 7.2,

Тогда

Доказательство. Если то дифференцируемы и Из леммы 7.2 следует, что а из леммы 7.3 следует, что С учетом этих соотношений и соотношения из последнего равенства получаем утверждение леммы.

Выше было показано, что если зависит только от то Поскольку (см. последнююлемму), напрашивается вывод о том, что имеет второй порядок. Однако это неверно. Так, можно показать, что Теорема 7.6 утверждает, что в этом случае не может иметь второй порядок. А именно, справедлива

Теорема 7.7. Пусть удовлетворяют условиям леммы Тогда

Доказательство. С учетом равенства имеем

Выше было показано, что

где Соотношения завершают доказательство.

Из данной теоремы следует, что порядок неизмерим с точки зрения определения (1.14). В самом деле, для любого положительного

Преобразуем (7.61) к виду

Таким образом, в определенном смысле сходится с линейной скоростью, а ее «константа асимптотики погрешности» стремится к нулю, причем Итерационная последовательность сходится к а, если погрешность начального приближения достаточно мала. В частности, если то при

Напрашивается следующее обобщение. Напомним, что

причем Поскольку представляется возможным ускорить сходимость положив

и далее —

Это наводит на мысль о целесообразности рассмотрения Я, заданного неявно формулой

При соотношение (7.62) можно получить и из других соображений. Заметим, что в этом случае поэтому Исследование ИФ вида нами не проводилось.

Если уже вычислены, то вычисление не потребует больших затрат. Представляется, что в алгоритме, предназначенном для нахождения корней уравнений достаточно общего вида, вычисление всегда целесообразно. После определения ближайшего целого, к которому стремится (это целое равно алгоритм мог бы переключиться на