ПРИЛОЖЕНИЕ В. О J-Й ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Задача получения формулы для производной обратной функции тесно связана с задачей обращения степенного ряда. Последняя рассматривалась, в частности, в статье Van Orstrand [В-1]. Формула для производной обратной функции выводится в работах Kamber [В-2], Kantz [В-3], Ostrowski [В-4], [В-5, Appendix С], Turowicz [В-6], Chernoff [В-7]. В статье Traub [В-8] получена явная формула для производной обратной функции и показано, что она эквивалентна формуле Островского. Наше изложение основано на упомянутой статье Трауба.

Пусть взаимно обратные функции. В теореме Жаботинского (Jabotinsky [В-9, Theorem 2]) утверждает, что пропорционально коэффициенту при в разложении Приведем модифицированный вариант этой теоремы, более подходящий для наших целей.

Пусть

причем Пусть, далее, коэффициенты определены равенством

где некоторое целое (положительное или отрицательное), коэффициенты аналогичного ряда для Тогда

Поскольку имеем

Заметим, что является коэффициентом при в разложении

Положим Тогда

Очевидно,

где сумма берется по всем неотрицательным целочисленным наборам для которых

Из получаем искомую формулу

где сумма берется по всем целочисленным неотрицательным наборам значений для которых

Если то для всех Выбор слагаемых в правой части определяется тем, что нас интересует только коэффициент при