8.5. МНОГОТОЧЕЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ, ПОРОЖДАЕМЫЕ СУПЕРПОЗИЦИЕЙ

В этом параграфе для получения многоточечных ИФ используется метод суперпозиции двух одноточечных ИФ.

Рассмотрим модификацию ИФ Ньютона, в которой производная вычисляется на каждой второй итерации. Пусть

Объединив оба уравнения, получим ИФ

что совпадает с (8.20).

Рассмотрим теперь ИФ, получаемую в результате суперпозиции ИФ, Ньютона и ИФ метода секущих. Положим

Объединение обоих уравнений (8.75) дает ИФ

Из соотношений

следует справедливость соотношения Полученная ИФ в точности совпадает с (8.55) и (8.62), а метод, которым она была построена, отмечен в названии метода Ньютона — метода секущих». Эта ИФ допускает следующую геометрическую интерпретацию: задает точку пересечения с осью абсцисс секущей, проходящей через точки

Наконец, рассмотрим ИФ, предложенную Островским (Ostrowski [8.5-1, Appendix G]. В этой ИФ на каждой второй итерации заменяется линейной комбинацией Таким образом,

Объединив оба уравнения (8.77), получим ИФ

для которой Эта ИФ имеет четвертый порядок, хотя на каждой итерации вычисляются только два значения и одно значение производной следовательно, Компоненты данной ИФ не допускают ясной интерпретации, аналогичной интерпретации компонент ИФ метода Ньютона — метода секущих. ИФ, заданная правой частью второго уравнения (8.77), имеет лишь первый порядок при произвольном

ИФ (8.78) в целом можно дать изящную геометрическую интерпретацию. Положим и запишем (8.78) в виде

Заметим, что точка с координатами делит пополам отрезок касательной к графику функции, проходящей через точки и а задает точку пересечения с осью абсцисс прямой, проходящей через точки