3.3. О КОРНЯХ НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Изучим свойства корней алгебраического уравнения

Это — характеристическое уравнение для некоторых семейств разностных уравнений, с которыми нам предстоит иметь дело в дальнейшем. Случай рассматривался в работе Ostrowski [3.3-1, pp. 87-90].

3.3.1. Свойства корней.

Если то уравнение (3.19) имеет единственный корень В дальнейших рассуждениях этого параграфа предполагается, что Ограничимся случаем, когда а — произвольное вещественное число, удовлетворяющее условию

Поскольку значение не является корнем уравнения (3.19). Пусть

Очевидно, корнями а являются все корни многочлена а также По правилу знаков Декарта функция а имеет в точности один положительный корень, и этот корень является простым; обозначим его через Так как

справедлив

Лемма 3.4. Уравнение

имеет единственный корень который является простым и удовлетворяет неравенствам

Таким образом, Позже мы покажем, что все остальные корни уравнения (3.19) по модулю меньше единицы. В следующей лемме устанавливается, что а возрастает с ростом

Лемма 3.5.

Доказательство. Из рекуррентного соотношения видно, что откуда легко следует утверждение леммы.

В дальнейшем нам понадобится Лемма 3.6. Если то

Доказательство. Зафиксируем и положим Очевидно, поэтому строго возрастает в области Соотношение завершает доказательство леммы. Выше отмечалось, что корень а простой. Справедливо и более сильное утверждение.

Лемма 3.7. Все корни уравнения простые. Доказательство. Пусть определяется соотношением (3.21). Производная имеет лишь один отличный от нуля корень Очевидно, и лемма доказана. I

Две следующие леммы устанавливают более точные границы для а.

Лемма 3.8.

Следовательно, при любом фиксированном а.

Замечание. В силу (3.20) имеем Доказательство. Положим . Тогда

Ввиду леммы 3.6 , что доказывает первое из неравенств в утверждении леммы. Второе неравенство следует из леммы 3.4.

Лемма 3.9.

где основание натуральных логарифмов.

Доказательство. Положим . Уравнение имеет единственный положительный корень Следовательно, производная не меняет знака на интервале Поскольку функция на этом интервале выпукла. Заметим, что секущая, проходящая через точки пересекает ось абсцисс в точке

а касательная к графику проходящая через точку , пересекает ось абсцисс в точке Поэтому

Поскольку из полученного неравенства следует утверждение леммы. I

Теперь изучим свойства многочлена, получающегося в результате деления многочлена на множитель Пусть коэффициенты многочлена

Лемма 3.10.

Доказательство. Полагая в (3.22) и учитывая, что получаем утверждение леммы. I

В следующих трех леммах устанавливается, что все корни многочлена (3.22) по модулю меньше единицы. Для удобства вместо а иногда будем писать просто

Лемма 3.11. Все коэффициенты положительны. Доказательство. Нетрудно показать, что

Другое представление для основывается на равенстве

Перенеся последние членов равенства в правую часть и поделив обе части на получим

Положим Тогда

Поскольку , утверждение следует из (3.25).

Лемма 3.12.

Доказательство. Пусть Необходимо показать, что или, с учетом равенств (3.23), что Последнее легко преобразуется в неравенство справедливость которого следует из леммы 3.4.

Пусть Ввиду (3.25) утверждение леммы эквивалентно неравенству которое легко сводится к Поскольку справедливость последнего не вызывает сомнений.

Лемма 3.13. За исключением корня все остальные корни уравнения по модулю меньше единицы.

Доказательство. При доказательстве этого утверждения используется теорема, которая, согласно Ostrowski [3.3-2, р. 90], предложена независимо друг от друга Какеуа [3.3-3] и Enestrom.

Если коэффициенты многочлена положительны, то все корни этого многочлена удовлетворяют неравенству

Применяя данную теорему к многочлену (3.22) и привлекая леммы 3.11 и 3.12, получаем

Из леммы 3.4 и соотношений (3.23) видно, что откуда следует утверждение леммы для Если , поэтому

Основные результаты этого пункта объединяет Теорема 3.2. Уравнение

при имеет единственный вещественный корень При уравнение имеет единственный положительный корень который является простым и удовлетворяет

неравенствам Более того,

где основание натуральных логарифмов, откуда следует, что Все остальные корни также являются простыми и по модулю меньше единицы.

3.3.2. Важный частный случай.

Особый интерес представляет случай, когда а — натуральное число (нецелые а будут рассматриваться только в гл. 7 при изучении кратных корней). Утверждение леммы 3.4 для этого случая выглядит так:

Таблица 3.1. Значения

Значения для некоторых а приводятся в табл. 3.1. Отметим, что корень уже при принимает значения, близкие к -максимальному допустимому в силу предыдущего неравенства значению, причем степень близости повышается с ростом а. Это обстоятельство в дальнейшем послужит основанием для важных выводов.