7.4. КОЭФФИЦИЕНТЫ РЯДОВ ДЛЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИТЕРАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ

В § 5.5 изучался ряд для погрешности . Перейдем к построению алгоритма вычисления коэффициентов рядов для погрешностей

Напомним смысл некоторых часто используемых обозначений:

Отметим, что

Предполагая, что а — нуль кратности построим разложение. в ряд по степеням которое потребуется ниже. Всюду

в этом параграфе, если не оговорено противное, используемые в формулах символы функций заменяют их значения в точке а. Итак, пусть определены формулой

Поскольку

имеем

или

Заметим, что так что (7.30) совпадает с (5.34) при поэтому что вполне согласуется с полученными ранее результатами.

Нетрудно доказать, что явная формула для имеет вид

где а внутренняя сумма вычисляется всевозможным целочисленным неотрицательным наборам для которых Заметим, что выражается так же, как и через за исключением членов, зависящих только от Используя (7.30) или (7.31), нетрудно получить выражения для нескольких первых

Перейдем к отысканию коэффициентов ряда, задающего погрешность. Пусть определены формулой

Поскольку естественно ожидать, что при Докажем это индукцией по Если

то Предположим, что для Подставив (7.32) в выражение

из леммы 7.1, получим

что завершает индукцию.

Подставив (7.32) в (7.33), используя представление и приравнивая коэффициенты при нулю, получаем следующее утверждение.

Теорема 7.3. Пусть кратность корня а равна Тогда коэффициенты рядов

удовлетворяют разностному уравнению

с начальными условиями

Если предположить, что известны, то (7.34) пригодно для вычисления Заметим, что зависимость от имеет тот же вид, что и зависимость от Выражения для некоторых приведены в табл. 7.4, при помощи которой легко получаются следующие разложения:

Таблица 7.4