D.3. ИТЕРАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ СТЕФФЕНСОНА — ХАУСХОЛДЕРА — ОСТРОВСКОГО

Из двух заданных составим итерационную функцию

Эту ИФ иногда называют -преобразованием Эйткена по следующей причине. Пусть Положим тогда и правая часть совпадает с правой частью формулы, задающей -преобразование Эйткена.

ИФ изучалась в работах Householder [D-13, pp. 126- 128], Ostrowski [D-14] и Steffensen [D-15], Во второй из упомянутых работ исследованы условия, при выполнении которых любая неподвижная точка итерационных функций является неподвижной точкой и для В работах Хаусхолдера показано, что если имеют первый порядок и то имеет второй порядок; если же имеют порядок то порядок равен

Ясно, что эффективность использования информации невелика. Так, имеет порядок превышающий порядок при Однако представляет интерес при

Формулу для можно получить из следующих соображений. Применим ИФ Ньютона к функции имеющей согласно теореме 2.5, простой нуль. Тогда

поэтому

Для аппроксимации используем разложение

Отбросив последний член в решив получившееся уравнение относительно и подставив это решение в получим требуемую формулу для