5.2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ Es

Рациональные функции часто предпочтительнее многочленов как средство аппроксимации. Совокупность всевозможных рациональных аппроксимаций некоторой функции можно представить в виде двумерного массива, индексами элементов которого служат степени многочленов, задающих числитель и знаменатель. Такие массивы называются таблицами Паде (Kogbetliantz [5.2-1], Kopal [5.2-2, Chap. IX], H. Wall [5.2-3, Chap. 20]).

Поскольку суть многочлены переменной и, коэффициенты которых зависят от производных функции распространим на них традиционную процедуру и построим таблицы Паде для этих ИФ. Рациональные аппроксимации будем строить таким образом, чтобы сохранялся порядок ИФ. Для каждого 5 получим оптимальных ИФ порядка . В частности, среди них будет и часто открываемая заново ИФ Хэлли. Большая часть составивших этот параграф результатов была впервые опубликована в статье Traub [5.2-4].

5.2.1. Итерационные функции, порождаемые рациональными аппроксимациями Es.

Вводя в рассмотрение многочлен ( имеем , Изучим рациональные аппроксимации многочлена сохраняющие порядок. Пусть

где

Отметим, что в выражении для имеется не зависящее от и слагаемое, которое отсутствует в выражении для ; поэтому Выбор а параметров произведем таким образом, чтобы

Тогда и по теореме 2.7 порядок равен Для выполнения условий (5.19) достаточно, чтобы удовлетворяли соотношениям

где При таком выборе выполняются соотношения

Поскольку зависят только от в свою очередь зависят только от то все ИФ являются оптимальными. В табл. 5.2 приведены формулы, задающие и соответствующие константы асимптотики погрешности для некоторых значений Отметим, что ура,

Таблица 5.2. Выражения для

Возникает вопрос: каким из ИФ, получаемых в результате описанной процедуры, следует отдать предпочтение? В работах Frame [5.2-5], Kopal [5.2-6] указывается, что лучшими являются ИФ, расположенные в таблице Паде вблизи диагонали.

Пример 5.4. Если две ИФ имеют одинаковый порядок, то соотношение скоростей их сходимости определяется соотношением констант асимптотики погрешности. Пусть Тогда

Отметим, что не исчерпывают все множество оптимальных ИФ, представимых в виде рациональных дробей. Например, в работе Kiss [5.2-7] предлагается ИФ четвертого порядка, в наших обозначениях принимающая вид

В статье Snyder [5.2-8] ИФ Хэлли выводится методом подстановки, а ИФ четвертого порядка — методом двойной подстановки. Если полученную в Snyder [5.2-8] ИФ записать в принятых у нас обозначениях, то она окажется идентичной (5.20), хотя ИФ (5.20) выведена в работе Kiss [5.2-7] совершенно другими методами. В книге Hildebrand [5.2-9, Sect. 9.12] изучаются ИФ, которые строятся при помощи аппарата непрерывных (цепных) дробей.

5.2.2. Формулы Хэлли и Ламберта.

ИФ вида делит первенство с метода секущих по частоте «переоткрытия». Так, первая относительно недавно была переоткрыта в работах Frame [5.2-10], Richmond [5.2-11], Н. Wall [5.2-12]. Эта ИФ была предложена Шрёдером (Е. Schroder [5.2-13, р. 352]) еще в 1870 г. Салехов [5.2-14] исследует сходимость основанного на данной ИФ метода, названного им методом касательных гипербол. В книге Загускина [5.2-15] указывается, что можно вывести методом Домориада, а в работе Bateman [5.2-16] первенство в открытии приписывается Хэлли (1694) (Hailey [5.2-17]).

При ИФ Хэлли принимает вид

При

В современной литературе метод (5.21) часто приписывают Бейли (1941 г.) (Bailey [5.2-18]). Уравнение (5.21) было выведено в 1927 г. Успенским (Uspensky [5.2-19]). В статье R. Newton [5.2-20] указывается, что Дэвис и Пек (1876) (Davies, Peck [5.2-21]) называли (5.21) методом Хаттона, но точная ссылка отсутствует. В работе Dunkel [5.2-22] отмечается, что данная формула была выведена в 1814 г. Барлоу (Barlow [5.2-23]). В работах Kiss [5.2-24], Mtiller [5.2-25] открытие этого метода приписывают Ламберту (1770) (Lambert [5.2-26]).