10.2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ

10.2.1. Прямая интерполяция.

Используем обозначения, введенные в п. 4.2.3. Пусть набор из приближений к интерполяционный многочлен степени для которого

Пусть, далее, однозначная функция, ставящая в соответствие набору некоторый вещественный корень уравнения единственный положительный корень уравнения . Тогда имеет порядок

Из леммы 3.9 при следует оценка

основание натуральных логарифмов). Значения приведены в табл. 3.1. Отметим, что при причем для разность мала.

Хотя некоторые авторы (например, Мюллер (Muller [10.2-1])) используют представление в форме Лагранжа, представление интерполяционного многочлена в форме Ньютона имеет ряд важных преимуществ. Рассмотрим сначала представление Лагранжа

В качестве очередного приближения выбираем нуль многочлена степени При имеем ИФ метода секущих (см. п. 6.2.1).

Случай рассмотрен в статье Muller [10.2-2] (см. также W. Franc [10.2-3], Lance [10.2-4, pp. 127-128], Korganoff [10.2-5, pp. 128-130]). В этой статье решение квадратного уравнения получено в следующей форме:

где Знак в (10.3) выбирается из условия реализации максимума абсолютной величины знаменателя.

Вычисление порядка в упомянутой статье Мюллера проводится излишне сложным методом. В то же время из (10.1) сразу имеем

ИФ в форме (10.3), полученной Мюллером, требует вычисления весьма громоздких выражений, лишенных геометрического смысла. Все эти моменты отличают в худшую сторону ИФ (10.3) от ИФ, выводимой ниже на основании интерполяционной формулы Ньютона.

При использовании формулы Ньютона имеем

Смысл используемых обозначений разъяснен в приложении А. При получаем ИФ метода секущих.

В случае получаем уравнение

Положим

тогда (10.5) принимает вид

откуда

Заметим, что а является неподвижной точкой функции тогда и только тогда, когда выбор знака в (10.8) совпадает со знаком о. С точки зрения удобства вычислений предпочтительнее представление

(подробности см. в п. 5.3.2). Заметим, что если то

превращается в (5.27). Поскольку

вычисляется на предыдущей итерации, на каждой итерации заново вычисляется только

Применительно к теорема 4.2 формулируется так. Пусть производная непрерывна, для всех и 2 принадлежат и расположены по одну сторону от при Тогда последовательность монотонно сходится к а.

Существует метод понижения степени многочлена сохраняющий порядок основанной на этом многочлене ИФ (ср. с п. 5.3.3). Продемонстрируем этот метод на примере Запишем соответствующее уравнение в следующем виде:

Заменим один из множителей на где метода секущих. Тогда уравнение (10.10) превращается в уравнение

а соответствующая итерационная функция принимает вид

Рассуждениями, аналогичными проведенным в можно показать, что

представляет собой разностный аналог ИФ Хэлли. При эта ИФ принимает вид

10.2.2. Обратная интерполяция.

Используем обозначения Пусть набор из приближений к а, производная не обращается в нуль в некоторой окрестности точки а, — функция, обратная к интерполяционный многочлен степени для которого

единственный положительный корень уравнения Предположим, что члены итерационной последовательности при удовлетворяют равенству Тогда

Отметим, что соотношение (10.12) отличается от (10.1) только тем, что в (10.1) вместо фигурирует

В § 10.2 отмечалось, что использование интерполяционного многочлена Ньютона дает ряд преимуществ по сравнению с интерполяционным многочленом Лагранжа. Поэтому воспользуемся многочленом Ньютона; имеем

(подробности см. в приложении А) Если то метода секущих; случай разобран в примере 6.2.