ГЛАВА 2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИТЕРАЦИОННЫХ ФУНКЦИЯХ

В этой главе ИФ рассматриваются независимо от их структуры. В § 2.1 доказываются существование и единственность итерационного решения задачи о неподвижной точке в предположении, что ИФ удовлетворяет условию Липшица. В § 2.2 детально исследуется различие между линейной и сверхлинейной сходимостью, а § 2.3 посвящен «итерационному исчислению» для ИФ, имеющих несколько непрерывных производных.

2.1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ

Рассмотрим решение уравнения

при помощи итерации

Число а, удовлетворяющее уравнению (2.1), называется неподвижной точкой функции Проблема нахождения неподвижных точек функций возникает во многих областях математики. Рассмотрим связь между решением задачи о неподвижной точке и решением уравнения Пусть произвольная функция, значение которой отлично от нуля и конечно. Положим

Очевидно, а есть решение уравнения тогда и только тогда, когда а — неподвижная точка функции

Мы покажем, что при определенных условиях задача о неподвижной точке имеет единственное решение и итерационная последовательность (2.2) сходится к этому решению. Вследствие специального вида этих условий доказательство будет простым. Существует много других доказательств подобных утверждений как для вещественных функций, так и для абстрактных пространств, использующих различные предположения (см., например, Antosiewicz, Rheinboldt [2.1-lJ, Collatz [2.1-2, Chap. Ill, Coppel [2.1-3], Ford [2.1-4], Householder [2.1-5, Sect. 3.3], John [2.1-6, Chap. 4, Sect. 6], Ostrowski [2.1-7, Chap. 4].

Предположим, что функция определена на некотором замкнутом ограниченном интервале и принимает

значения из этого интервала. Тогда, если принадлежит то и все принадлежат Для существования решения уравнения (2.1) нужно предполагать непрерывность А именно, справедлива

Лемма 2.1. Пусть непрерывная функция, действующая из Тогда существует такое что

Доказательство. Поскольку действует из то Положим Тогда и, согласно теореме о промежуточных значениях, существует такое число а, что Последнее равнозначно соотношению

Для получения дальнейших результатов наложим дополнительные ограничения на Пусть

для произвольных точек из Заметим, что это сжимающее условие Липшица обусловливает непрерывность. Покажем, что при этом условии решение уравнения единственно.

Лемма 2.2. Пусть функция, действующая из и удовлетворяющая сжимающему условию Липшица (2.4). Тогда уравнение имеет не более одного решения.

Доказательство. Предположим, что существуют два различных решения Следовательно, Используя (2.4), получаем

что невозможно.

Таким образом, установлены условия, гарантирующие существование и единственность решения а уравнения Покажем теперь, что последовательность, задаваемая соотношением сходится к этому решению.

Теорема 2.1. Пусть замкнутый ограниченный интервал, функция, действующая из и удовлетворяющая условию

для произвольных точек из Пусть произвольная точка из Тогда последовательность сходится к единственному решению уравнения лежащему в

Доказательство. Леммы 2.1 и 2.2 гарантируют существование и единственность решения а уравнения Это решение и претендует на роль предела последовательности, определяемой соотношением Очевидно,

Из условия Липшица следует, что

Таким образом,

Если бы мы не знали, что уравнение имеет единственное решение, то пришлось бы показать, что последовательность удовлетворяет критерию Коши.

Оценка погрешности приближения, зависящая только от первых двух приближений и константы Липшица, выводится так. Из условия Липшица следует, что для всех

Пусть произвольные положительные целые числа. Тогда

поэтому

Учитывая (2.5), получаем, что

или

Пусть Тогда

Это соотношение дает верхнюю границу погрешности приближения. Отметим, что если близко к единице, то сходимость может быть очень медленной. Значительная часть наших дальнейших усилий будет направлена на построение ИФ, обладающих быстрой сходимостью. Для этого потребуются дополнительные ограничения на