D.2. «дельта2»-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЙТКЕНА

Предположим, что последовательность сходится к а, причем

где постоянная. В дальнейшем нам необходимо отличать сходимость, удовлетворяющую условиям от общего случая линейной сходимости, заданной соотношениями

Поэтому сходимость, удовлетворяющую условиям назовем геометрической. Сопоставление двух последовательных равенств позволяет исключить К и выразить корень а в виде

Таким образом, в случае геометрической сходимости предел последовательности определяется однозначно по трем ее последовательным членам.

Если последовательность сходится линейно, то формула не дает, вообще говоря, точного значения предела. Поэтому используем в качестве правила построения новой последовательности

Последнее представимо в эквивалентных формах:

Преобразование и называется -преобразованием Эйткена. Последняя форма записи этого преобразования наиболее удобна с точки зрения вычислений. Положим а. Покажем, что если в то Для доказательства используем представление

в силу которого

Заметим, что

где Поэтому

Нетрудно видеть, что если то С учетом неравенства отсюда заключаем, что

Введем дополнительное ограничение на скорость сходимости к нулю последовательности Предположим, что

Нетрудно показать, что в этом случае

Соотношение выполняется в предположении

полученном из подстановкой В то же время нельзя утверждать, что справедливо для любой линейно сходящейся последовательности. Если последовательность порождена которой производная непрерывна и то

т. е. условие выполняется при Используя получаем

Пример (этот пример принадлежит Форсайту (G. Е. Forsythe). Пусть

Тогда

Эта последовательность сходится линейно, так как она удовлетворяет условиям при

В то же время правая часть равенства

ограничена только при условии Следовательно, только в этом случае последовательность удовлетворяет соотношениям Вычисления подтверждают, что но только если

Применение -преобразования Эйткена к последовательностям с квадратичной сходимостью не приводит к ускорению сходимости. В самом деле, если то в то время как для вычисления используется