ГЛАВА 11. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

В этой главе скалярные ИФ обобщаются на случай решения систем уравнений.

11.1. ВВЕДЕНИЕ

Эта глава посвящена исключительно сложной проблеме. Трудности, связанные с одновременным решением уравнений, много более чем в раз превосходят трудности решения одного уравнения. Так, вместо одной первой производной скалярной функции в случае системы уравнений мы имеем матрицу из частных производных первого порядка, а вместо второй производной — матрицу из частных производных второго порядка.

Мы не будем заниматься системами линейных уравнений, которым посвящена обширнейшая литература. Исследования в области решения нелинейных систем ведутся в ряде направлений. В работе Hooke, Jeeves [11.1-1], Newman [11.1-2] изучаются способы построения эффективных многомерных методов. Другой путь состоит в сведении задачи решения систем уравнений к задаче минимизации (см. Caldwell [11.1-3], Crockett, Chernoff [11.1-4], Davidon [11.1-5], Householder [11.1-6, pp. 132-135], Korganoff [11.1-7, pp. 155-164], Ward [11.1-8]). В обзорной статье Spang [11.1-9] приведена обширная библиография по данной проблематике.

Вопросы, связанные с решением нелинейных систем, рассматриваются также в работах Adachi [11.1-10], Durand [11.1-11, Chap. V], Е. Frank [11.М2], Gleyzal [11.1-13], Hart, Motzkin [11.1-14], Hildebrand [11.1-15, pp. 450-451], Hochstrasser [11.1-16], Householder [11.1-17, §3.4], John [11.1-18, pp. 69-77], Kincaid [11.1-19], Korganoff [11.1-20, § 3.4] и [11.1-21], Morrey [11.1-22], Ostrowski [11.1-23, Chap. 18], 3aгускин [11.1-24, гл. 6]. В работах Ostrowski [11.1-25, Appendix D] и P. Wolfe [11.1-26] проведено обобщение на многомерный случай метода секущих.

В этой главе мы обобщим на многомерный случай ИФ Ньютона и некоторые многоточечные ИФ из гл. 8, 9. Все обобщаемые ИФ вычисляют только значения функции или значения функции и ее первой производной, а их константы асимптотики погрешности зависят от Последнее свойство

упрощает обобщение оценок для погрешностей этих ИФ на многомерный случай. Полученные в этой главе теоретические оценки погрешностей подкреплены результатами численных экспериментов, изложенными в приложении Однако окончательная оценка практической значимости этих новых методов может быть дана только после испытания их на значительном количестве реальных задач.

Итак, мы рассматриваем задачу решения системы уравнений

Будем предполагать, что в окрестности корня левые части имеют требуемое количество непрерывных производных, а определитель матрицы Якоби

(якобиан) не обращается в нуль в окрестности корня. В дальнейшем обозначаем векторы жирным шрифтом; например,

Тогда и формула (11.1) принимает вид

Аналогичные обозначения будут использоваться и для матриц.

Условимся о том, что по всем повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до например,

Для обозначения номера итерации используем верхние индексы, заключенные в скобки, в отличие от нижних индексов без скобок, используемых для обозначения компонент векторов. Так, для компонент вектора погрешностей на итерации используем обозначение

Применяемые для решения системы (11.4) ИФ представляют собой векторные функции векторного аргумента. Одноточечная ИФ в этом случае имеет вид

а многоточечная —

Приведенное в п. 1.2.3 определение порядка скалярной ИФ также нуждается в обобщении. Теорема 2.2 утверждает, что скалярная ИФ имет целый порядок в том и только том случае, если

Используем обобщение условий (11.8) в качестве определения понятия порядка для векторных ИФ. Здесь мы обобщаем на многомерный случай только понятие целого порядка. Поэтому в § 11.4, где обобщаются ИФ с памятью, вопросы порядка рассматриваться не будут.

Предположим, что имеет непрерывные частные производные порядка. Будем говорить, что имеет порядок если

Иными словами, тогда и только тогда, когда а является неподвижной точкой все частные производные до порядка включительно обращаются в нуль в точке а и существует хотя бы одна частная производная порядка, которая в точке а не обращается в нуль. Разъясним смысл этого определения. Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки а:

здесь а по всем повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до Нетрудно видеть, чтоесли то в соответствии с определением (11.9) имеем

Анализ этих соотношений с использованием матричных норм проводится в книге Korganoff [11.1-28, pp. 143-147].

Константой асимптотики погрешности векторной назовем