Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
2.2. ЛИНЕЙНАЯ И СВЕРХЛИНЕЙНАЯ СХОДИМОСТЬВ § 2.1 для решения уравнения условий, обеспечивающих сходимость итерационной последовательности, а построению таких ИФ, для которых эта последовательность сходится быстро. При этом мы будем готовы потребовать выполнения гораздо более сильных условий, чем условие Липшица. В частности, будем предполагать, что в рассматриваемом интервале 2.2.1. Линейная сходимость.Предположим, что производная
Поэтому потребуем, чтобы
Отметим, что
где
Потребуем, чтобы в некоторой окрестности точки а выполнялось условие Точку а, для которой при любой начальной точке Далее, пусть
Ясно, что если В случае же сверхлинейной сходимости можно отказаться от требования 2.2.2. Сверхлинейная сходимость.В дополнение к условию
где точка
В этом случае
Хартри Теорема 2.2. Предположим, что Напомним, что наличие у итерационной функции некоторого положительного порядка еще не гарантирует сходимости порождаемой ею последовательности. Достаточные условия сходимости этой последовательности будут установлены ниже. Пример 2.1. Пусть В п. 2.2.1 было показано, что последовательность, порожденная ИФ линейного порядка, может не сходиться ни в какой окрестности точки а. Теперь мы увидим, что порожденная сверхлинейной ИФ последовательность всегда сходится в некоторой окрестности точки а. Проводимые ниже рассуждения охватывают случаи как сверхлинейной, так и линейной сходимости. Исходным моментом наших рассуждений, является соотношение
Положим Из условия
Предположим, что
Тогда
В самом деле, пусть (2.13) выполнено для некоторого номера
Следовательно, (2.13) выполнено и для Теорема 2.3. Предположим, что производная
выполняется для всех х из 2.2.3. Преимущества итерационных функций высокого порядка.Пусть производная![]() ![]() ![]() ![]() ![]() иллюстрирует пример
В рассматриваемом случае Это только одно из целого ряда преимуществ сверхлинейной сходимости над линейной. Пожалуй, наиболее важное преимущество можно нестрого сформулировать так: приближение ИФ более высокого порядка во многих случаях требуют меньшего суммарного количества вычислений значений функции Основные недостатки, проявляющиеся при использовании ИФ высокого порядка, состоят в росте сложности формул и стоимости вычислений высших производных функции Отметим, что если функция Может показаться, что построение ИФ высокого порядка для произвольных
Ниже будет предложен ряд методов построения ИФ произвольного порядка, удовлетворяющих некоторым другим критериям. Таким образом, будет показано, что для построения ИФ необязательно использовать соотношения (2.14). Методика, развитая Стеффенсоном, Хаусхолдером и Островским, позволяет получать одну ИФ второго порядка из двух ИФ первого порядка (приложение Во многих областях численного анализа при построении аппроксимаций предъявляют требование точности их для некоторого количества степеней х. В нашем случае ИФ, полученные прямой интерполяцией Пример 2.2. Положим
|
1 |
Оглавление
|