8.6. МНОГОТОЧЕЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ С ПАМЯТЬЮ

Выше были подробно изучены одноточечные ИФ с памятью. В случае многоточечных ИФ с памятью мы ограничимся рассмотрением двух примеров. В соответствии с определениями многоточечные ИФ с памятью представляют собой многоточечные ИФ, повторно использующие ранее вычисленную информацию.

Каждая из приводимых ниже ИФ вычисляет в ходе итерации два новых значения и имеет порядок Отметим, что ИФ, получаемая суперпозицией двух ИФ метода секущих, также вычисляет два новых значения на каждой итерации, однако порядок ее равен

Для произвольного значения параметра рассмотрим ИФ

Выше было показано (см. (8.52)), что

причем в том случае, когда достаточно мало, погрешность (8.80) меньше погрешности ИФ Ньютона. При отсюда получается ИФ третьего порядка

Предположим, что на очередной итерации аппроксимирует выражение В качестве аппроксимации для можно выбрать вычисленное на предыдущей итерации. Такое рекуррентное вычисление приводит к «самоускоряющемуся» методу. А именно, пусть

С помощью стандартных рассуждений можно показать, что погрешность а в этом случае аппроксимируется выражением

Поскольку стремятся к при имеем

Нетрудно видеть, что порядок равен Эта ИФ, вычисляющая на каждой итерации только два новых значения имеет более высокий порядок по сравнению с ИФ Ньютона, вычисляющей на каждой итерации одно значение и одно значение производной

Начальное приближение можно выбрать многими способами:

а) из условия ;

b) если имеется хотя бы грубое приближение для то можно приравнять его к

если известен знак то можно положить при

Рассмотрим теперь «самоускоряющийся» вариант ИФ метода секущих. Выше мы показали (см. (8.57)), что для ИФ

справедлива оценка

Очевидно, следует выбирать так, чтобы Пусть выберем равным наиболее точному приближению к которое может дать информация, вычисленная на предыдущей итерации. А именно, пусть

Отметим, что для использования этой ИФ необходимы начальные приближения Можно показать, что

следовательно, порядок данной ИФ равен