9.3. МНОГОТОЧЕЧНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ВТОРОГО ТИПА

Рассмотрим теперь ИФ семейства (9.2) третьего и четвертого порядков. Введем упрощенные обозначения:

где

Заметим, что по сравнению с (9.2) символы здесь заменены на

9.3.1. ИФ третьего порядка.

Предположим сначала, что тогда

Разложив в ряд по степеням получим

Поэтому

Отсюда видно, что в том и только том случае, если

при

Таким образом, (9.25) включает однопараметрическое семейство ИФ третьего порядка при Общее решение (9.26) имеет вид

Представляет интерес ряд частных решений (9.26) при различных Если , то

Если

Если

Если то коэффициенты при в правой части (9.27) равны друг другу. Это значение близко к значению при котором достигается минимум суммы квадратов коэффициентов из (9.27). Если то

Отметим, что ИФ (9.29) и (9.30) были выведены другими методами в п. 8.2.2.

ИФ семейства (9.25) в отличие от (8.42) или (9.11) невозможно получить рекуррентным методом: этот метод предполагает но отсюда следует, что Здесь мы не рассматриваем ИФ с комплексными коэффициентами, хотя последний вывод говорит о целесообразности их изучения.

9.3.2. ИФ четвертого порядка.

Перейдем к изучению семейства (9.24) при Путем стандартных преобразований придем к соотношению

где Отсюда видно, что в том и только том случае, если

Вычтя из третьего уравнения этой системы четвертое, получим следующую систему, эквивалентную исходной:

Заметим, что система (9.34) совпадает с точностью до знаков и смысла параметров с системой Рунге — Кутты третьего порядка (см. Kunz [9.3-1, р. 184]). Следовательно, совпадают и множества решений этих систем. Однако при анализе решений системы (9.34) мы будем исходить из критериев, отличных принятых при анализе решений системы Рунге — Кутты.

При общее решение системы (9.34) имеет вид

Поскольку только при , в дополнительном рассмотрении нуждаются лишь случаи При этом случай исключается по упоминавшимся выше вычислительным соображениям.

С помощью (9.34) и (9.35) нетрудно выразить коэффициент при в разложении (9.33) только через

Из последнего уравнения системы (9.34) видно, что ни один из параметров не может быть равен нулю. Поскольку

ограничим область изменения параметров интервалами Во избежание громоздких формул будем характеризовать получаемые ИФ значениями их параметров в представлении (9.24).

Сначала рассмотрим случай при этом —2/3. Примем за свободный параметр; тогда последующих рассмотрениях предполагается, что

Если то значение производной вычисляется в точке, являющейся ньютоновым отображением точки х. Остальные коэффициенты выражаются через следующим образом:

Выделим значения представляющие особый интерес. Если , то

если

если

При остальные коэффициенты можно выразить через Р:

Выделим представляющие особый интерес значения Если , то

если

Если то и мы получаем однопараметрическое семейство решений При имеем

В случае также получаем однопараметрическое семейство решений. Соотношения одновременно выполняться не могут.

При или константа асимптотики погрешности (9.36) зависит только от Параметры ИФ, соответствующие первому из случаев, определяются соотношениями (9.37); соответствующие второму случаю — соотношениями

Рассмотренные в этом параграфе ИФ собраны в табл. 9.2.

Таблица 9.2. Некоторые ИФ вида