1.2.3. Порядок.

Мы подошли к важному понятию порядка ИФ. Пусть последовательность сходится к а. Положим а. Если существует действительное число и ненулевая константа С, такие, что

то называется порядком последовательности, константой асимптотики погрешности.

Оставшаяся часть пункта посвящена разъяснению определения (1.13). Наша задача состоит в том, чтобы установить связь между порядком последовательности и порождающей ее ИФ. Для этого представим (1.13) в виде

Если существуют вещественное и ненулевая константа С, удовлетворяющие (1.14), то приписываем порядок независимо от того, сходится порождаемая ею последовательность или нет. Ясно, что если последовательность сходится, то порядок итерационной функции и порядок порожденной ею последовательности совпадают. Единственность порядка будет установлена ниже.

Напомним, что является функционалом, зависящим от Следовательно, порядок может различаться для разных классов функций Для изучаемых в дальнейшем типов функций будем требовать, чтобы у существовал некоторый определенный порядок по меньшей мере для всех функций нули которых имеют определенную кратность. В этом случае будем говорить, что ИФ имеет порядок для нулей определенной кратности. Отметим, что всюду, за исключением гл. 7, мы

будем иметь дело с простыми нулями, если не оговорено противное. Принадлежность классу ИФ, имеющих порядок будет обозначаться

В приведенных определениях порядок связан с кратностью. Будем называть порядок независимым от кратности, если порядок одинаков для нулей любой кратности. В противном случае будем называть порядок зависимым от кратности. В частности, порядок, равный единице для всех кратных нулей, а для простых нулей превышающий единицу, будем называть линейным для всех кратных нулей. Прилагательные линейный и квадратичный будут иногда использоваться вместо первый и второй.

Заметим, что если порядок существует, то он единствен. В самом деле, пусть сходящаяся последовательность имеет два порядка: причем Тогда

откуда следует, что

Но последнее противоречит предположению о что порядок равен

Ниже будет показано, что ИФ с памятью не могут быть целого порядка. Если производная непрерывна и

то имеет порядок Уравнение (1.16) можно переписать в виде

В классической работе Е. Schroder [1.2-7], относящейся к 1870 г., дано следующее определение порядка: имеет порядок если

Это определение имеет смысл только для ИФ одной переменной, имеющих непрерывных производных. В отличие от многих авторов, основывающихся на этом определении, мы предпочтем представить его в виде утверждения теоремы 2.2. В то же время обобщение (1.17) послужит определением порядка для систем уравнений в гл. 11.

Преимущества высоких порядков обсуждаются в п. 2.2.3.

Пример 1.2. Ниже мы покажем, что для. метода Ньютона а для метода секущих

В § 7.8 будет приведен пример ИФ, порядок которой неизмерим в рамках определения (1.13).