А.4. АППРОКСИМАЦИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

А.4.1. Постановка задачи.

Для аппроксимации производных функций и используем производные многочленов соответственно. Получение общих формул для аппроксимации производных и соответствующих формул для погрешности требует преодоления определенных трудностей (см. Crout [А.4-1], Hildebrand [А.4-2]). Однако необходимая для наших построений формула, задающая аппроксимацию значения посредством получается довольно легко. Отметим, что значение производной аппроксимируется на основе значений Формулы для аппроксимации производных выводятся в этом параграфе, а формулы для погрешности аппроксимации — в следующем параграфе.

А.4.2. Аппроксимация производной на основе формулы Ньютона.

Выражение для получается без труда; достаточно продифференцировать многочлен и подставить

Положим тогда

и нетрудно подсчитать, что

В итоге получаем

Пример

В частности,

Пример А.10.

В частности,

При аппроксимации имеем

Пример A.ll.

В частности,

Пример A.12.

В частности,

A.4.3. Аппроксимация производных на основе формулы Лагранжа-Эрмита.

Выражение для можно получить и

посредством дифференцирования формулы Лагранжа — Эрмита. Напомним, что

Положим тогда

Пример А.13. Пусть Непосредственным дифференцированием получаем из и следующие формулы:

где

где

Аналогичным способом из формулы Лагранжа — Эрмита можно получить выражение для